如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，设\(a\)，\(b\)，\(c\)分别表示三条边的长度，由勾股定理，得\(c^{2}=a^{2}+b^{2}.\)类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．

阅读下面材料：

根据两角和与差的正弦公式，有

\(\sin (α+β)=\sin α\cos β+\cos α\sin β------①\)

\(\sin (α-β)=\sin α\cos β-\cos α\sin β------②\)

由\(①+②\)得\(\sin (α+β)+\sin (α-β)=2\sin α\cos β------③\)

\(α+β=A\)，\(α-β=B\) 有\(α=\dfrac{A+B}{2} \)，\(β=\dfrac{A-B}{2} \)

代入\(③\)得 \(\sin A+\cos B=2\sin \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2} \)．

\((1)\)       类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：\(\cos A-\cos B=\dfrac{A+B}{2} -2\sin \sin \dfrac{A-B}{2} \)；

\((2)\)若\(\triangle ABC\)的三个内角\(A\)，\(B\)，\(C\)满足\(\cos 2A+\cos 2C-\cos 2B=1\)，直接利用阅读材料及\((1)\)中的结论试判断\(\triangle ABC\)的形状．

一个平面用\(n\)条直线去划分，最多将平面分成\(f(n)\)个部分．

\((1)\) 求\(f(1)\)，\(f(2)\)，\(f(3)\)，\(f(4)\)的值\(;\)

\((2)\) 观察\(f(2)-f(1)\)，\(f(3)-f(2)\)，\(f(4)-f(3)\)，有何规律\(?\)

\((3)\) 求\(f(n)\)．

先阅读下列结论的证法，再解决后面的问题：已知\(a_{1}\)，\(a_{2}∈R\)，\(a_{1}+a_{2}=1\)，求证：\(a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}\geqslant \dfrac{1}{2}.\)证明：构造函数\(f(x)=(x-{a}_{1}{)}^{2} +(x-a_{2})^{2}\)，则\(f(x)=2x^{2}-2(a_{1}+a_{2})×a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}=2x^{2}-2x+a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}\)，因为对一切\(x∈R\)，恒有\(f(x)\geqslant 0.\)所以\(\triangle =4-8(a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2})\leqslant 0\)，从而得\(a{\,\!}_{1}^{2}+a{\,\!}_{2}^{2}\geqslant \dfrac{1}{2}\)．

\((1)\)若\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}∈R\)且\(a_{1}\)，\(a_{2}\)，\(…\)，\(a_{n}∈R\)，\(a_{1}+a_{2}+…+a_{n}=1\)，请写出上述结论的推广式；

\((2)\)参考上述解法，对你推广的结论加以证明．