知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设非等腰△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，用分析法证明： $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba-b%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bc-b%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7Ba-b%2Bc%7D$ ．

难度：较易

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2．设a＞0，b＞0，2c＞a+b，求证：
（1）c²＞ab；
（2）c- $%20%5Csqrt%20%7Bc%5E%7B2%7D-ab%7D$ ＜a＜c+ $%20%5Csqrt%20%7Bc%5E%7B2%7D-ab%7D$ ．

难度：较易

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3．
设$a > 0$，$b > 0$，$2c > a+b$，求证：
$(1)c^{2} > ab$；
$(2)c- \sqrt {c^{2}-ab} < a < c+ \sqrt {c^{2}-ab}$．

难度：难

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4．已知a，b是不相等的正实数，求证：（a²b+a+b²）（ab²+a²+b）＞9a²b²．

难度：较难

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5．试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知0＜a＜1，则 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B1-a%7D$ ≥9．

难度：较易

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6．用分析法证明：当x≥4时， $%20%5Csqrt%20%7Bx-3%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7Bx-2%7D$ ＞ $%20%5Csqrt%20%7Bx-4%7D$ + $%20%5Csqrt%20%7Bx-1%7D$ ．

难度：较难

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7．设f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
，是否存在g（n），使等式f（1）+f（2）+…+f（n-1）=g（n）[f（n）-1]对n≥2的一切自然数都成立，并证明你的结论．

难度：中等

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8．已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2（a³+b³+c³）＞a²（b+c）+b²（a+c）+c²（a+b）．

难度：中等

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9．已知n≥0，试用分析法证明：
n+2
-
n+1
≤
n+1
-
n
．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=log_n+1x（n＞0），且 g（x）=x+f（x+2）-f（n-x）是奇函数．
（1）求实数n的值；
（2）求g（x）图象与直线y=-2，x=1围成的封闭图形的面积S；
（3）对于任意a，b，c∈[M，+∞），且a≥b≥c．当a、b、c能作为一个三角形的三边长时，f（a），f（b），f（c）也总能作为某个三角形的三边长，试求M的最小值．

难度：较难

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