知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）已知x，y∈R⁺，且x+y＞2，求证： $%20%5Cfrac%20%7B1%2Bx%7D%7By%7D$ 与 $%20%5Cfrac%20%7B1%2By%7D%7Bx%7D$ 中至少有一个小于2．
（2）函数f（x）=lnx- $%20%5Cfrac%20%7Ba%28x-1%29%7D%7Bx%7D$ （x＞0，a∈R）．当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1．

难度：中等

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2．用反证法证明：当m为任何实数时，关于x的方程x²-5x+m=0与2x²+x+6-m=0至少有一个方程有实数根．

难度：较易

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3．试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知0＜a＜1，则 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B1-a%7D$ ≥9．

难度：较易

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4．已知x∈R，a=x²+
1
2
，b=2-x，c=x²-x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1．

难度：较易

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5．已知a是整数，a²是偶数，用反证法证明：a也是偶数．

难度：中等

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6．用指定方法法证明不等式：
3
+
5
＞
2
+
6
．
（Ⅰ）分析法；
（Ⅱ）反证法．

难度：中等

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7．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f（x）在[0，1]上有意义，且f（0）=f（1），如果对于不同的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|，求证：．那么他的反设应该是．

难度：中等

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8．用反证法证明：对任意的x∈R，关于关于x的方程x²-5x+m=0与2x²+x+6-m=0至少有一个方程有实根．

难度：中等

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9．
已知，求证均为正数.

难度：中等

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10．过平行四边形ABCD的顶点B、C、D的圆与直线AD相切，与直线AB相交于点E，已知AD=4，CE=5．
（1）如图1，若点E在线段AB上，求AE的长；
（2）点E能否在线段AB的延长线上？（即图2的情形是否存在？）若能，求出AE的长；若不能，请说明理由．

难度：中等

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