现有\(4\)个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为\(1\)或\(2\)的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于\(2\)的人去参加乙项目联欢．

\((1)\)求这\(4\)个人中恰好有\(2\)人去参加甲项目联欢的概率；

\((2)\)求这\(4\)个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；

\((3)\)用\(X\)，\(Y\)分别表示这\(4\)个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记\(ξ=|X-Y|\)，求随机变量\(ξ\)的分布列．

面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有\(A\)、\(B\)、\(C\)三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为\( \dfrac{1}{5}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{3} .\)求：

\((1)\)他们都研制出疫苗的概率；

\((2)\)他们能研制出疫苗的概率；

\((3)\)至多有一个机构研制出疫苗的概率．

吉安市农业银行的一个办理储蓄的窗口，有一些储户办理业务，假设每位储户办理业务的所需时间相互独立，且该窗口办理业务不间断，对以往该窗口储户办理业务的所需时间统计结果如下：从第一个储户办理业务时计时，

\((1)\)求到第\(3\)分钟结束时办理了业务的储户都办完业务的概率；

\((2)\)第三个储户办理业务恰好等待\(4\)分钟开始办理业务的概率．

广东省汕头市日前提出，要提升市民素质和城市文明程度，促进经济发展有大的提速，努力实现“幸福汕头”的共建共享\(.\)现随机抽取\(50\)位市民，对他们的幸福指数进行统计分析，得到如下分布表：

\((\)Ⅰ\()\)求这\(50\)位市民幸福指数的数学期望\((\)即平均值\()\)；

\((\)Ⅱ\()\)以这\(50\)人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数，若从全市市民\((\)人数很多\()\)任选\(3\)人，记表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数\(.\)求\(\xi \)的分布列；

\((\)Ⅲ\()\)从这\(50\)位市民中，先随机选一个人\(.\)记他的幸福指数为\(m\)，然后再随机选另一个人，记他的幸福指数为\(n\)，求\(n < m+60\)的概率\(P\)．

\((1)\)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率；

\((2)\)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数\(ξ\)的分布列．

在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投\(3\)次；在\(A\)处每投进一球得\(3\)分，在\(B\)处每投进一球得\(2\)分；如果前两次得分之和超过\(3\)分即停止投篮，否则投三次。某同学在\(A\)处的命中率\({{q}_{1}}\)为\(0.25\)，在\(B\)处的命中率为\({{q}_{2}}.\)该同学选择先在\(A\)处投一球，以后都在\(B\)处投，用\(\xi \)表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为     

 \(\left( \text{I} \text{I} \right)\)求随机变量\(\xi \)的数学期量\(E\xi \)；

\(\left( \text{I} \text{I} \text{I} \right)\)试比较该同学选择都在\(B\)处投篮得分超过\(3\)分与选择上述方式投篮得分超过\(3\)分的概率的大小。

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了\(100\)个网箱，测量各箱水产品的产量\((\)单位：\(kg)\)某频率分布直方图如下：

\((1)\)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记\(A\)表示事件“旧养殖法的箱产量低于\(50 kg\)，新养殖法的箱产量不低于\(50 kg\)”，估计\(A\)的概率；

\((2)\)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值\((\)精确到\(0.01)\)．

附：