知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5000小时．经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：
某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年．新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业．经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装．已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时．假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换．（用频率估计概率）
（Ⅰ）若该商家新店面全部安装了B型节能灯，求一年内恰好更换了2支灯的概率；
（Ⅱ）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．

难度：较易

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2．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇$.2017$年“$618$”期间，某购物平台的销售业绩高达$516$亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系$.$现从评价系统中选出$200$次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为$0.6$，对服务的好评率为$0.75$，其中对商品和服务都做出好评的交易为$80$次．
$(1)$请列出关于商品和服务评价的$2×2$列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过$0.001$的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
$(2)$若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的$3$次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量$X$．
$①$求对商品和服务全为好评的次数$X$的分布列；
$②$求$X$的数学期望和方差．

附：临界值表

$P$$(K^{2}$$\geqslant $$k$${\,\!}_{0}$$)$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k$${\,\!}_{0}$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$635$	$7.879$	$10.828$

$K^{2}= \dfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}($其中$n=a+b+c+d)$．

难度：中等

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3．

某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准$a$，用电量不超过$a$的部分按平价收费，超出$a$的部分按议价收费$.$为此，政府调查了$100$户居民的月平均用电量$($单位：度$)$，以$[160,180)$，$[180,200)$，$[200,220)$，$[220,240)$，$[240,260)$，$[260,280)$，$[280,300)$分组的频率分布直方图如图所示．

$($Ⅰ$)$根据频率分布直方图的数据，求直方图中$x$的值并估计该市每户居民月平均用电量$μ$的值；

$($Ⅱ$)$用频率估计概率，利用$($Ⅰ$)$的结果，假设该市每户居民月平均用电量$X$服从正态分布$N(μ,σ^{2})$

$(ⅰ)$估计该市居民月平均用电量介于$μ～240$度之间的概率；

$(ⅱ)$利用$(ⅰ)$的结论，从该市所有居民中随机抽取$3$户，记月平均用电量介于$μ～240$度之间的户数为$Y$，求$Y$的分布列及数学期望$E(Y)$．

难度：难

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4．

某公司共有职工$1500$人，为了增加职工的福利待遇，公司决定：按照每一名职工家庭所在地与单位的距离，每月发给职工路途补贴，补贴金额$y($元$)$和距离$s($公里$)$的关系是：$y=200+40\left[ \dfrac{s}{3} \right]$，其中$\left[ \dfrac{s}{3} \right]$表示不超过$\dfrac{s}{3}$的最大整数$.$为此，用分层抽样从所有职工中抽出$100$名，调查实际情况，得下表：

距离$($公里$)$	$\left[ 0,3 \right) $	$\left[ 3,6 \right) $	$\left[ 6,9 \right) $	$\left[ 9,12 \right) $	$\left[ 12,15 \right) $
人数	$25$	$50$	$15$	$5$	$5$

根据以上所给的条件，解答以下两个问题：

$(1)$估算公司每月用于路途补贴的费用总额；

$(2)$以样本频率作为概率，求随机选取四名职工，至少两名路途补贴超过$300$元的概率．

难度：中等

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5．如图，李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L₁、L₂两条路线，L₁路线上有A₁、A₂、A₃三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
1
2
；L₂路线上有B₁、B₂两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
3
4
，
3
5
．
（1）若走L₁路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走L₂路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

难度：中等

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6．如图，李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L₁、L₂两条路线，L₁路线上有A₁、A₂、A₃三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ；L₂路线上有B₁、B₂两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B5%7D$ ．
（1）若走L₁路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走L₂路线，求遇到红灯次数X的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

难度：较易

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7．自驾游从A地到B地有甲乙两条线路，甲线路是A-C-D-B，乙线路是A-E-F-G-H-B，其中CD段、EF段、GH段都是易堵车路段．假设这三条路段堵车与否相互独立．这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示．
经调查发现，堵车概率x在（
2
3
，1）上变化，y在（0，
1
2
）上变化．
在不堵车的情况下．走线路甲需汽油费500元，走线路乙需汽油费545元．而每堵车1小时，需多花汽油费20元．路政局为了估计CD段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据．

堵车时间（单位：小时）频数
[0，1] 8
（1，2] 6
（2，3] 38
（3，4] 24
（4，5] 24
（表2）
CD段 EF段 GH段
堵车概率 x y
1
4
平均堵车时间
（单位：小时） a 2 1
（表1）
（1）求CD段平均堵车时间a的值．
（2）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率．
（3）在（2）的条件下，某4名司机中走甲线路的人数记为X，求X的数学期望．

难度：中等

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8．翡翠市场流行一种赌石“游戏规则”：翡翠在开采出来时有一层风化皮包裹着，无法知道其内的好坏，须切割后方能知道翡翠的价值，参加者先缴纳一定金额后可得到一块翡翠石并现场开石验证其具有的收藏价值．某举办商在赌石游戏中设置了甲、乙两种赌石规则，规则甲的赌中率为
2
3
，赌中后可获得20万元；规则乙的赌中率为P₀（0＜P₀＜1），赌中后可得30万元；未赌中则没有收获．每人有且只有一次赌石机会，每次赌中与否互不影响，赌石结束后当场得到兑现金额．
（1）收藏者张先生选择规则甲赌石，收藏者李先生选择规则乙赌石，记他们的累计获得金额数为X（单位：万元），若X≤30的概率为
7
9
，求P₀的大小；
（2）若收藏者张先生、李先生都选择赌石规则甲或选择赌石规则乙进行赌石，问：他们选择何种规则赌石，累计得到金额的数学期望最大？

难度：中等

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9．首届重庆三峡银行•长江杯乒乓球比赛于2014年11月14-16日在万州三峡之星举行，决赛中国家乒乓队队员张超和国家青年队队员夏易正进行一场比赛．根据以往经验，单局比赛张超获胜的概率为
2
3
，夏易正获胜的概率为
1
3
，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的人获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．试求：
（1）比赛以张超3胜1败而宣告结束的概率；
（2）令ξ为本场比赛的局数．求ξ的概率分布和数学期望．

难度：中等

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10．下面玩掷骰子放球的游戏：若掷出1点，甲盒中放入一球；若掷出2点或是3点，乙盒中放入一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放入一球!设掷n次后，甲、乙、丙盒内的球数分别为x，y，z
（1）当n=3时，求x、y、z成等差数列的概率；（2）当n=6时，求x、y、z成等比数列的概率；
（3）设掷4次后，甲盒和乙盒中球的个数差的绝对值为ξ，求Eξ．

难度：较难

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\(P\)\((K^{2}\)\(\geqslant \)\(k\)\({\,\!}_{0}\)\()\)	\(0.15\)	\(0.10\)	\(0.05\)	\(0.025\)	\(0.010\)	\(0.005\)	\(0.001\)
\(k\)\({\,\!}_{0}\)	\(2.072\)	\(2.706\)	\(3.841\)	\(5.024\)	\(635\)	\(7.879\)	\(10.828\)

距离\((\)公里\()\)	\(\left[ 0,3 \right) \)	\(\left[ 3,6 \right) \)	\(\left[ 6,9 \right) \)	\(\left[ 9,12 \right) \)	\(\left[ 12,15 \right) \)
人数	\(25\)	\(50\)	\(15\)	\(5\)	\(5\)

堵车时间（单位：小时）	频数
[0，1]	8
（1，2]	6
（2，3]	38
（3，4]	24
（4，5]	24
（表2）