知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
某连锁经营公司所属$5$个零售店某月的销售额和利润额资料如下表

商店名称

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

销售额$x($千万元$)$

$3$

$5$

$6$

$7$

$9$

利润额$y($百万元$)$

$2$

$3$

$3$

$4$

$5$

$(1)$用最小二乘法计算利润额$y$对销售额$x$的回归直线方程；

$(2)$当销售额为$8($千万元$)$时，估计利润额的大小．

$($附：$\overset{\hat{\ }}{{b}}\,=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}-n{{\overline{x}}^{2}}}$，$\overset{\hat{\ }}{{a}}\,=\overline{y}-\overset{\hat{\ }}{{b}}\,\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均值$)$

难度：中等

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2．

$17$年$12$月，京津冀等地数城市指数“爆表”，北方此轮污染为近年来最严重的污染过程$.$为了探究车流量与$PM2.5$的浓度是否相关，现采集到北方某城市$2017$年$12$月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与$PM2.5$的数据如表：

参考公式：回归直线的方程是$\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$，其中$b=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}-n\overline{x}\overline{y}}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}-n{{\overline{x}}^{2}}}}$，$a=\overline{y}-b\overline{x}$．

$(1)$ 由散点图知$y$与$x$具有线性相关关系，求$y$关于$x$的线性回归方程；

$(2)$ $(ⅰ)$利用$(1)$所求的回归方程，预测该市车流量为$8$万辆时$PM2.5$的浓度；

$(ⅱ)$规定：当一天内$PM2.5$的浓度平均值在$\left( 0,50 \right]$内，空气质量等级为优；当一天内$PM2.5$的浓度平均值在$\left( 50,100 \right]$内，空气质量等级为良$.$为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量在多少万辆以内$?($结果以万辆为单位，保留整数$)$

难度：中等

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3．
在一段时间内，某种商品价格$x($万元$)$和需求量$y(t)$之间的一组数据如下表：

价格$x$

$1.4$

$1.6$

$1.8$

$2$

$2.2$

需求量$y$

$12$

$10$

$7$

$5$

$3$

$(1)$画出散点图；

$(2)$求出$y$对$x$的线性回归方程$\hat{y}=bx+a$；

$(3)$如果价格定为$1.9$万元，预测需求量大约是多少$.($结果精确到$0.01 t)$参考公式：$b=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}-n\bar{x}{ }\bar{y}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}-n{{{\bar{x}}}^{2}}}}$，$a=\bar{y}-b\bar{x}$．

难度：中等

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4．
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长$.$设某地区城乡居民人民币储蓄存款$($年底余额$)$如下表：

年份

$2010$

$2011$

$2012$

$2013$

$2014$

时间代号$t$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

储蓄存款$y$$($千亿元$)$

$5$

$6$

$7$

$8$

$10$

$(1)$求$y$关于$t$的回归方程$ \overset{\}{y}= \overset{\}{b}t+ \overset{\}{a} $；

$(2)$用所求回归方程预测该地区$2015$年$($$t$$=6)$的人民币储蓄存款．

难度：难

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5．已知下表是月份${{x}_{{}}}$与$y$用电量$($单位：万度$)$之间的一组数据：

$(1)$画出散点图；

$(2)$如果$y$对${{x}_{{}}}$有线性相关关系，求回归方程；$($参考公式：$\widehat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}-n\overline{x}\overline{y}}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}-n{{(\overline{x})}^{2}}}$，$\hat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x})$

$(3)$预测$12$月份的用电量．

难度：较难

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6．
某零售商店近五个月的销售额和利润额资料如下表：

商店名称

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

销售额$x($千万元$)$

$3$

$5$

$6$

$7$

$9$

利润额$y($百万元$)$

$2$

$3$

$3$

$4$

$5$

$(1)$画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；

$(2)$用最小二乘法计算利润额$y$关于销售额$x$的回归直线方程；
$(3)$当销售额为$4($千万元$)$时，利用$(2)$的结论估计该零售店的利润额$($百万元$).($参考公式${\,\!}_{(} \overset{\}{b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}\left({x}_{i}- \bar{x}\right)\left({y}_{i}- \bar{y}\right)}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{\left({x}_{i}- \bar{x}\right)}^{2}}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{ \bar{x}}^{2}} _{,}\overset{\hat{\ }}{{a}}\,=\overset{-}{{y}}\,-\overset{\hat{\ }}{{b}}\,\overset{\_}{{x}}\,$ $)$

难度：较难

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7．

在某次试验中，有两个试验数据$x$，$y$，统计的结果如表格．

$(1)$ 在给出的坐标系中画出$x$，$y$的散点图$;$

$(2) \overset{\}{b}= \dfrac{ \sum\limits{x}_{i}{y}_{i}-n \bar{x}\; \bar{y}}{ \sum\limits{{x}_{i}}^{2}-n{x}^{-2}}, \overset{\}{a}= \bar{y}- \overset{\}{b} \bar{x} $，求出$y$对$x$的回归直线方程$ \overset{\}{y}= \overset{\}{b}x+ \overset{\}{a} $，并估计当$x$为$10$时$y$的值是多少？

难度：难

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8．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：

x 2 4 5 6 8

y 30 40 60 50 70
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）预测当广告费支出为9百万元时的销售额．
最小二乘法：
̂
y
=
̂
a
+
̂
b
x，
其中
̂
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2
，
̂
a
=
.
y
-
̂
b
.
x
．

难度：中等

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9．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（Ⅱ）预测当广告费支出为9百万元时的销售额．
最小二乘法： $%20%CC%82y$ = $%20%CC%82a$ + $%20%CC%82b$ x，
其中 $%20%CC%82b$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%20%5Coverline%20%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%CC%82a$ = $%20%5Coverline%20%7By%7D$ - $%20%CC%82b%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ．

难度：较易

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10．某种产品的广告支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应关系：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
（1）假定y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；
（2）若实际销售额不少于60百万元，则广告支出应该不少于多少？（结果保留两位小数）
（注：）

难度：中等

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商店名称	\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(D\)	\(E\)
销售额\(x(\)千万元\()\)	\(3\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(9\)
利润额\(y(\)百万元\()\)	\(2\)	\(3\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)

价格\(x\)	\(1.4\)	\(1.6\)	\(1.8\)	\(2\)	\(2.2\)
需求量\(y\)	\(12\)	\(10\)	\(7\)	\(5\)	\(3\)

年份	\(2010\)	\(2011\)	\(2012\)	\(2013\)	\(2014\)
时间代号\(t\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
储蓄存款\(y\)\((\)千亿元\()\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(10\)

商店名称	\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(D\)	\(E\)
销售额\(x(\)千万元\()\)	\(3\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(9\)
利润额\(y(\)百万元\()\)	\(2\)	\(3\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)