知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据： $\text{[math]}$ =9.32， $\text{[math]}$ y_i=40.17， $\text{[math]}$ =0.55， $\text{[math]}$ ≈2.646．
参考公式：相关系数r= $\text{[math]}$ 回归方程 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ．

难度：中等

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2．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x_i（单位：千元）与月储蓄y_i（单位：千元）的数据资料，算得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程y=bx+a中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为样本平均值，线性回归方程也可写为 $\text{[math]}$ ．

难度：中等

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3．某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：

x 2 4 5 6 8

y 30 40 60 50 70
（1）求回归直线方程；
（2）据此估计广告费用为9万元时，销售收入y的值．
参考公式：回归直线的方程
y
=
b
x+
a
，其中
b
=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2
，
a
=
.
y
-
b
.
x
，
.
x
=
1
n
n
i=1
xi，
.
y
=
1
n
n
i=1
yi．

难度：中等

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4．某工厂为了对新研究的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销售y件 90 84 83 80 75 68
（1）求回归直线方程
̂
y
=
̂
b
x+
̂
a
，其中
̂
b
=-20．
（2）预计在今后的销售中，销售与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价定为多少元？

难度：中等

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5．调查某市出租车使用年限x和该年支出维修费用y（万元），得到数据如下：
使用年限x 2 3 4 5 6
维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
（1）画出数据对应的散点图；
（2）求线性回归方程；
（3）由（2）中结论预测第10年所支出的维修费用．

难度：中等

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6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

难度：中等

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7．某市居民1999～2003年货币收入x与购买商品支出Y的统计资料如下表所示：
单位：亿元
年份 1999 2000 2001 2002 2003
货币收入x 40 42 44 47 50
购买商品支出Y 33 34 36 39 41
（Ⅰ）画出散点图，判断x与Y是否具有相关关系；
（Ⅱ）已知
b
=0.842，
a
=-0.943，请写出Y对x 的回归直线方程，并计算出1999年和2003的随机误差效应．

难度：中等

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8．在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：

温度（x） 0 10 20 30 40

溶解度（y） 65 74 87 96 103
（1）画出散点图；
（2）求出线性回归方程
y
=bx+a；
（3）当温度为70度时，试估算此时硝酸钠的溶解度为多少？

难度：中等

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9．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表

商店名称 A B C D E

销售额（x）/千万元 3 5 6 7
9

利润额（y）/百万元 2 3 3 4 5
（1）画出销售额和利润额的散点图．
（2）若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程y=bx+a，其中
^b=
∑
n
i
=xiyi-n
.
x
.
y
∑
n
i
=xi2-n
.
x
2
，
b
=y-
b
x．
（3）若获得利润是4.5时估计销售额是多少（百万）？

难度：中等

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10．下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：

气温/℃ 26 18 13 10 4 -1

杯数 20 24 34 38 50 64
（1）将上表中的数据制成散点图．
（2）你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系吗？
（3）如果近似成线性关系的话，请求出回归直线方程来近似地表示这种线性关系．
（4）如果某天的气温是-5℃时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数．

难度：中等

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