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          50条信息

            • 1.
              如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 \(x\) \((\)吨\()\)与相应的生产能耗 \(y\) \((\)吨标准煤\()\)的几组对照数据.
              \(x\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)
              \(y\) \(2.5\)  \(3\) \(4\)  \(4.5\)
              \((1)\)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 \(y\) 关于 \(x\) 的回归直线方程 \( \hat y=a+bx\);
              \((2)\)已知该厂技改前生产\(100\)吨甲产品的生产能耗为\(90\)吨标准煤,由\((1)\)求出的回归直线方程,预测生产\(100\)吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
            • 2.
              某地级市共有\(200000\)中小学生,其中有\(7\%\)学生在\(2017\)年享受了“国家精准扶贫”政策,在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次:一般困难、很困难、特别困难,且人数之比为\(5\):\(3\):\(2\),为进一步帮助这些学生,当地市政府设立“专项教育基金”,对这三个等次的困难学生每年每人分别补助\(1000\)元、\(1500\)元、\(2000\)元\(.\)经济学家调查发现,当地人均可支配年收入较上一年每增加\(n\%\),一般困难的学生中有\(3n\%\)会脱贫,脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策,很困难的学生中有\(2n\%\)转为一般困难,特别困难的学生中有\(n\%\)转为很困难\(.\)现统计了该地级市\(2013\)年到\(2017\)年共\(5\)年的人均可支配年收入,对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值,其中年份\(x\)取\(13\)时代表\(2013\)年,\(x\)与\(y(\)万元\()\)近似满足关系式\(y=C_{1}\cdot 2^{C_{2x}}\),其中\(C_{1}\),\(C_{2}\)为常数\(.(2013\)年至\(2019\)年该市中学生人数大致保持不变\()\)
               \( \overline {y}\)  \( \overline {k}\)  \( \sum\limits_{i=1}^{5}(k_{i}- \overline {k})^{2}\)  \( \sum\limits_{i=1}^{5}(y_{i}- \overline {y})^{2}\)  \( \sum\limits_{i=1}^{5}(x_{i}- \overline {x})(y_{i}- \overline {y})\) \( \sum\limits_{i=1}^{5}(x_{i}- \overline {x})(k_{i}- \overline {k})\) 
               \(2.3\)  \(1.2\) \(3.1\)   \(4.6\)  \(2\) \(1\) 
              其中\(k_{i}=\log _{2}y_{i}\),\( \overline {k}= \dfrac {1}{5} \sum\limits_{i=1}^{5}k_{i}\)
              \((\)Ⅰ\()\)估计该市\(2018\)年人均可支配年收入;
              \((\)Ⅱ\()\)求该市\(2018\)年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少?
              附:\(①\)对于一组具有线性相关关系的数据\((u_{1},v_{1})\),\((u_{2},v_{2})…\),\((u_{n},v_{n})\),其回归直线方程
              \( \overset{\land }{v}=β \overset{\land }{u}+α\)的斜率和截距的最小二乘估计分别为\( \overset{\land }{\beta }= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(u_{i}- \overline {u})(vv_{i}- \overline {v})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(u_{i}- \overline {u})^{2}}\),\( \overset{\land }{\alpha }= \overline {v}- \overset{\land }{\beta } \overline {u}\)
              \(②\)
              \(2^{-0.7}\) \(2^{-0.3}\) \(2^{0.1}\) \(2^{1.7}\) \(2^{1.8}\) \(2^{1.9}\)
              \(0.6\) \(0.8\) \(1.1\) \(3.2\) \(3.5\) \(3.73\)
            • 3.
              某地\(1~10\)岁男童年龄\(x_{i}(\)岁\()\)与身高的中位数\(y_{i}(cm)(i=1,2,…,10)\)如表:
              \(x(\)岁\()\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\)
              \(y(cm)\) \(76.5\) \(88.5\) \(96.8\) \(104.1\) \(111.3\) \(117.7\) \(124.0\) \(130.0\) \(135.4\) \(140.2\)
              对上表的数据作初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
              \( \overline {x}\) \( \overline {y}\) \( \sum\limits_{i=1}^{10}(x_{i}- \overline {x})^{2}\) \( \sum\limits_{i=1}^{10}(y_{i}- \overline {y})^{2}\) \( \sum\limits_{i=1}^{10}(x_{i}- \overline {x})(y_{i}- \overline {y})\)
              \(5.5\) \(112.45\) \(82.50\) \(3947.71\) \(566.85\)
              \((1)\)求\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\((\)回归方程系数精确到\(0.01)\);
              \((2)\)某同学认为,\(y=px^{2}+qx+r\)更适宜作为\(y\)关于\(x\)的回归方程类型,他求得的回归方程是\(y=-0.30x^{2}+10.17x+68.07.\)经调查,该地\(11\)岁男童身高的中位数为\(145.3cm.\)与\((1)\)中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好?
              附:回归方程\( \hat {y}= \hat {a}+ \hat {b}x\)中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:\( \hat {b}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})(y_{i}- \overline {y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})^{2}}\),\( \hat {a}= \overline {y}- \hat {b} \overline {x}\).
            • 4.
              某二手交易市场对某型号的二手汽车的使用年数\(x(0 < x\leqslant 10)\)与销售价格\(y(\)单位:万元\(/\)辆\()\)进行整理,得到如下的对应数据:
              使用年数\(x\) \(2\) \(4\) \(6\) \(8\) \(10\)
              销售价格\(y\) \(16\) \(13\) \(9.5\) \(7\) \(4.5\)
              \((I)\)试求\(y\)关于\(x\)的回归直线方程\( \hat {y}= \hat {b}x+ \hat {a}\).
              \((\)参考公式:\( \hat {b}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})(y_{i}- \overline {y)}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})^{2}}\),\( \hat {a}= \hat {y}- \hat {b}x)\)
              \((II)\)已知每辆该型号汽车的收购价格为\(ω=0.05x^{2}-1.75x+17.2\)万元,根据\((I)\)中所求的回归方程,预测\(x\)为何值时,销售一辆该型号汽车所获得的利润\(z\)最大?\((\)利润\(=\)销售价格\(-\)收购价格\()\)
            • 5.
              经调查,\(3\)个成年人中就有一个高血压,那么什么是高血压?血压多少是正常的?经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查,得出随年龄变化,收缩压的正常值变化情况如下表:
               年龄\(x\)  \(28\)  \(32\)  \(38\)  \(42\)  \(48\)  \(52\)  \(58\)  \(62\)
               收缩压\(y(\)单位\(mm Hg)\)  \(114\)  \(118\)  \(122\)  \(127\)  \(129\)  \(135\)  \(140\)  \(147\)
              其中:\( \overset{\hat{} }{b}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n\cdot \overline {x}\cdot \overline {y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n} x_{ i }^{ 2 }-n\cdot \overline {x}^{2}}, \overset{\hat{} }{a}= \overline {y}- \overset{\hat{} }{b} \overline {x}\),\( \sum\limits_{i=1}^{8} x_{ i }^{ 2 }=17232\),\( \sum\limits_{i=1}^{8} x_{ i }y_{i}=47384\)

              \((1)\)请画出上表数据的散点图;
              \((2)\)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\( \overset{\hat{} }{y}= \overset{\hat{} }{b}x+ \overset{\hat{} }{a}\);\(( \overset{\hat{} }{a}, \overset{\hat{} }{b}\)的值精确到\(0.01)\)
              \((3)\)若规定,一个人的收缩压为标准值的\(0.9~1.06\)倍,则为血压正常人群;收缩压为标准值的\(1.06~1.12\)倍,则为轻度高血压人群;收缩压为标准值的\(1.12~1.20\)倍,则为中度高血压人群;收缩压为标准值的\(1.20\)倍及以上,则为高度高血压人群\(.\)一位收缩压为\(180mmHg\)的\(70\)岁的老人,属于哪类人群?
            • 6.
              有一户农村居民家庭实施\(10\)年收入计划,从第 \(1\)年至\(7\)年他家的纯收入\(y(\)单位:千元\()\)的数据如表:
              年份代号\(x\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)
              人均纯收入\(y\) \(2.9\) \(3.3\) \(3.6\) \(4.4\) \(4.8\) \(5.2\) \(5.9\)
              \(i\) \(x_{i}\) \(y_{i}\) \(x_{i}y_{i}\) \( x_{ i }^{ 2 }\)
              \(1\) \(1\) \(2.9\)
              \(2\) \(2\) \(3.3\)
              \(3\) \(3\) \(3.6\)
              \(4\) \(4\) \(4.4\)
              \(5\) \(5\) \(4.8\)
              \(6\) \(6\) \(5.2\)
              \(7\) \(7\) \(5.9\)
              \( \overset{ .}{x}=\) \( \overset{ .}{y}=\) \( \sum\limits_{i=1}^{7}x_{i}y_{i}=\) \( \sum\limits_{i=1}^{7} x_{ i }^{ 2 }=\)
              \((\)Ⅰ\()\)将右表填写完整,并求\(y\)关于\(x\)的线性回归方程;
              \((\)Ⅱ\()\)利用\((\)Ⅰ\()\)中的回归方程,分析\(1\)年至\(7\)年该农户家庭人均纯收入的变化情况,并预测该农户第\(8\)年的家庭人均纯收入是多少.
              附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:\( \hat b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n \overset{}{x} \overset{}{y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n \overset{}{x}^{2}}\),\( \hat a= \overset{ .}{y}- \hat b \overset{ .}{x}\).
            • 7.
              某二手车交易市场对某型号的二手汽车的使用年数\(x(0 < x\leqslant 10)\)与销售价格\(y(\)单位:万元\(/\)辆\()\)进行整理,得到如下的对应数据:
              使用年数 \(2\) \(4\) \(6\) \(8\) \(10\)
              售价 \(16\) \(13\) \(9.5\) \(7\) \(4.5\)
              \((1)\)试求\(y\)关于\(x\)的回归直线方程:\((\)参考公式:\( \hat b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n\cdot \overset{}{x} \overset{}{y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n} x_{ i }^{ 2 }-n \overset{}{x^{2}}}\),\( \hat a= \overset{ .}{y}- \hat b \overset{ .}{x}.)\)
              \((2)\)已知每辆该型号汽车的收购价格为\(ω=0.05x^{2}-1.75x+17.2\)万元,根据\((1)\)中所求的回归方程,预测\(x\)为何值时,销售一辆该型号汽车所获得的利润\(z\)最大?
            • 8.
              某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与医院抄录\(1\)至\(6\)月份每月\(10\)号的昼夜温差情况与患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
              日    期 \(1\)月\(10\)日 \(2\)月\(10\)日 \(3\)月\(10\)日 \(4\)月\(10\)日 \(5\)月\(10\)日 \(6\)月\(10\)日
              昼夜温差\(x(℃)\) \(10\) \(11\) \(13\) \(12\) \(8\) \(6\)
              就诊人数\(y(\)个\()\) \(22\) \(25\) \(29\) \(26\) \(16\) \(12\)
              该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取\(2\)组,用剩下的\(4\)组数据求线性回归方程,再用被选取的\(2\)组数据进行检验.
              \((\)Ⅰ\()\)求选取的\(2\)组数据恰好是相邻两个月的概率;
              \((\)Ⅱ\()\)若选取的是\(1\)月与\(6\)月的两组数据,请根据\(2\)至\(5\)月份的数据,求出\(y\)关于\(x\)的线性回归方程\( \hat y=bx+a\);
              \((\)Ⅲ\()\)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过\(2\)人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
              参考公式:线性回归方程的系数公式为\(b= \dfrac { \sum\limits_{i-1}^{n}x_{i}y_{i}-n \overset{}{x} \overset{}{y}}{ \sum\limits_{i-1}^{n}x_{ i }^{ 2 }-n \overset{-2}{x}}= \dfrac { \sum\limits_{i-1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})(y_{i}- \overset{}{y})}{ \sum\limits_{i-1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})^{2}}\),\(a= \overset{ .}{y}-b \overset{ .}{x}\).
            • 9.
              某公司要推出一种新产品,分\(6\)个相等时长的时段进行试销,并对卖出的产品进行跟踪以及收集顾客的评价情况\((\)包括产品评价和服务评价\()\),在试销阶段共卖出了\(480\)件,通过对所卖出产品的评价情况和销量情况进行统计,一方面发现对该产品的好评率为\( \dfrac {5}{6}\),对服务的好评率为\(0.75\),对产品和服务两项都没有好评有\(30\)件,另一方面发现销量和单价有一定的线性相关关系,具体数据如下表:
               时段  \(1\)  \(2\)  \(3\)  \(4\)  \(5\)  \(6\)
               单价\(x(\)元\()\)  \(800\)  \(820\)  \(840\)  \(860\)  \(880\)  \(900\)
               销量\(y(\)件\()\)  \(90\)  \(84\)  \(83\)  \(80\)  \(75\)  \(68\)
              \((1)\)能否在犯错误的概率不超过\(0.001\)的前提下,认为产品好评和服务好评有关?
              \((2)\)该产品的成本是\(500\)元\(/\)件,预计在今后的销售中,销量和单价仍然服从这样的线性相关关系\(( \hat y= \hat bx+ \hat a)\),该公司如果想获得最大利润,此产品的定价应为多少元?
              \((\)参考公式:线性回归方程\( \hat y= \hat bx+ \hat a\)中系数计算公式分别为:\( \hat b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})(y_{i}- \overset{}{y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})^{2}}\),\( \hat a= \overset{ .}{y}- \hat b \overset{ .}{x}\);\(K^{2}= \dfrac {n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\),其中\(n=a+b+c+d)\)
              \((\)参考数据
              \(P(K^{2}\geqslant k)\) \(0.15\) \(0.10\) \(0.05\) \(0.025\) \(0.010\) \(0.005\) \(0.001\)
              \(k\) \(2.072\) \(2.706\) \(3.841\) \(5.024\) \(6.635\) \(7.879\) \(10.828\)
              \( \sum\limits_{n=1}^{6}x_{i}y_{i}=406600\),\( \sum\limits_{n=1}^{6}x_{i}^{2}=4342000)\)
            • 10.
              某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了\(1\)至\(6\)月份每月\(10\)号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
              日期 \(1\)月\(10\)日 \(2\)月\(10\)日 \(3\)月\(10\)日 \(4\)月\(10\)日 \(5\)月\(10\)日 \(6\)月\(10\)日
              昼夜温差
              \(x\) \((℃)\)
              \(10\) \(11\) \(13\) \(12\) \(8\) \(6\)
              就诊人数
              \(y(\)个\()\)
              \(22\) \(25\) \(29\) \(26\) \(16\) \(12\)
              该兴趣小组确定的研究方案是:先用\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)月的\(4\)组数据求线性回归方程,再用\(1\)月和\(6\)月的\(2\)组数据进行检验.
              \((1)\)请根据\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)月的数据,求出\(y\)关于\(x\)的线性回归方程
              \((2)\)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过\(2\)人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?
              \((\)参考公式:\(b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})(y_{i}- \overset{}{y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overset{}{x})^{2}}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n \overset{}{x} \overset{}{y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n \overset{}{x}^{2}}\),\(a= \overset{ .}{y}-b \overset{ .}{x})\)
              参考数据:
              \(11×25+13×29+12×26+8×16=1092\),
              \(11^{2}+13^{2}+12^{2}+8^{2}=498\).
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