知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设 $%281%2Bmx%29%5E%7B2020%7D%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%2Ba_%7B2020%7Dx%5E%7B2020%7D%28m%E2%88%88R%29$ ．
（1）若m=2，求a₁+2a₂+…+2020a₂₀₂₀的值；
（2）若m=-1，求 $S%3D%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D0%7D%5E%7B2020%7D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bi%7D%7D$ 的值．

难度：较易

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2．在集合A={1，2，3，4，…，2n}中，任取m（m≤n，m，n∈N*）元素构成集合A_m．若A_m的所有元素之和为偶数，则称A_m为A的偶子集，其个数记为f（m）；若A_m的所有元素之和为奇数，则称A_m为A的奇子集，其个数记为g（m）．令F（m）=f（m）-g（m）．
（1）当n=2时，求F（1），F（2）的值；
（2）求F（m）．

难度：难

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3．
已知$(1+x)^{2n+1}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+…+a_{2n+1}x^{2n+1}$，$n∈N*.$记$T_{n}= \sum\limits_{i=0}^{n}(2k+1)a_{n-k}$．
$(1)$求$T_{2}$的值；
$(2)$化简$T_{n}$的表达式，并证明：对任意的$n∈N*$，$T_{n}$都能被$4n+2$整除．

难度：中等

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4．证明二项式定理（a+b）ⁿ=C_n⁰aⁿ+C_n¹a^n-1b+C_n²a^n-2b²+…+C_n^ra^n-rb^r+…+C_nⁿbⁿ，n∈N^*．

难度：中等

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5．我们规定：对于任意实数A，若存在数列{a_n}和实数x（x≠0），使得A=a₁+a₂x+a₃x²+…+a_nx^n-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
.
x(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2(-1)(3)(-2)(1)
，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×2²+1×2³=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x²）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
（2）若数列{a_n}满足a₁=2，a_k+1=
1
1-ak
，k∈N*，b_n=
.
2(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N^*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，b_n=p•8ⁿ+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
（3）若常数t满足t≠0且t＞-1，d_n=
.
2(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

难度：较难

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