知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知$ A_{ n }^{ 5 }=56 C_{ n }^{ 7 }$，且$(1-2x)^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+…+a_{n}x^{n}$．
$($Ⅰ$)$求$n$的值；
$($Ⅱ$)$求$a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}$的值．

难度：难

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2．已知二项式（a+2x）ⁿ（a∈R⁺，n∈N*且n＞1）
（1）若n=6，展开式中含x²项的系数为960，求a的值；
（2）若展开式中各项系数和为3¹⁰，且n+a=12，求展开式的所有二项式系数之和．

难度：中等

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3．已知f（x）=（x²+x+1）ⁿ（n∈N^*），g（x）是关于x的2n次多项式；
（1）若f（x²）g（x）=g（x³）恒成立，求g（1）和g（-1）的值；并写出一个满足条件的g（x）的表达式，无需证明．
（2）求证：对于任意给定的正整数n，都存在与x无关的常数a₀，a₁，a₂，…，a_n，使得f（x）=a₀（1+x²ⁿ）+a₁（x+x^2n-1）+a₂（x²+x^2n-2）+…+a_n-1（x^n-1+xⁿ⁺¹）+a_nxⁿ．

难度：中等

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4．函数 $f%28x%29%3D%28%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D%2B%20%5Csqrt%20%7Bx%7D%29%5E%7B9%7D$ （a为实数且是常数）
（1）已知f（x）的展开式中x³的系数为 $%20%5Cfrac%20%7B9%7D%7B4%7D$ ，求a的值；
（2）已知a＞0，若x在定义域中取任意值时，都有f（x）≥27恒成立，求出a的取值范围．

难度：中等

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5．设（3x-1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，已知展开式中二项式系数最大的是四、五两项，求：
（1） $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D$ |a_i|；
（2） $%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D$ |ia_i|；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项．

难度：中等

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6．
已知$( \sqrt[3]{x}+x^{2})^{2n}$的展开式的系数和比$(3x-1)^{n}$的展开式的系数和大$992$，求$(2x- \dfrac {1}{x})^{2n}$的展开式中：
$(1)$二项式系数最大的项；
$(2)$系数的绝对值最大的项．

难度：较易

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7．设二项展开式$C_{n}=( \sqrt {3}+1)^{2n-1}(n∈N^{*})$的整数部分为$A_{n}$，小数部分为$B_{n}$．
$(1)$计算$C_{1}B_{1}$，$C_{2}B_{2}$的值；
$(2)$求$C_{n}B_{n}$．

难度：较难

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8．
已知二项式${\left( \sqrt[3]{x}+ \dfrac{1}{x}\right)}^{n} $的展开式中各项系数的和为$256$．
$(1)$求$n$．
$(2)$求展开式中的常数项．

难度：较易

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9．
在二项式$(ax^{m}+bx^{n})^{12}(a > 0,b > 0,m$、$n\neq 0)$中有$2m+n=0$，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．
$(1)$求它是第几项；
$(2)$求$ \dfrac {a}{b}$的范围．

难度：中等

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10．
一组数据$4$，$7$，$10$，$s$，$t$的平均数是$7$，$n$是这组数据的中位数，设$f(x)=( \dfrac {1}{x}-x^{2})^{n}$．
$(1)$求$f(x)$的展开式中$x^{-1}$的项的系数；
$(2)$求$f(x)$的展开式中系数最大的项和系数最小的项．

难度：较易

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