知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知$(1+x)^{2n+1}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+…+a_{2n+1}x^{2n+1}$，$n∈N*.$记$T_{n}= \sum\limits_{i=0}^{n}(2k+1)a_{n-k}$．
$(1)$求$T_{2}$的值；
$(2)$化简$T_{n}$的表达式，并证明：对任意的$n∈N*$，$T_{n}$都能被$4n+2$整除．

难度：中等

解析收藏试题篮
2．
已知$( \sqrt {x}+ \dfrac {1}{3 \sqrt {x}})^{n}$展开式中偶数项二项式系数和比$(a+b)^{2n}$展开式中奇数项二项式系数和小$120$，求：
$(1)( \sqrt {x}+ \dfrac {1}{3 \sqrt {x}})^{n}$展开式中第三项的系数；
$(2)(a+b)^{2n}$展开式的中间项．

难度：难

解析收藏试题篮
3．
已知$ A_{ n }^{ 5 }=56 C_{ n }^{ 7 }$，且$(1-2x)^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+…+a_{n}x^{n}$．
$($Ⅰ$)$求$n$的值；
$($Ⅱ$)$求$a_{1}+a_{2}+a_{3}+…+a_{n}$的值．

难度：难

解析收藏试题篮
4．已知$(1+m \sqrt {x})^{n}(m$是正实数$)$的展开式的二项式系数之和为$128$，展开式中含$x$项的系数为$84$，
$(I)$求$m$，$n$的值
$(II)$求$(1+m \sqrt {x})^{n}$ $(1-x)$的展开式中有理项的系数和．

难度：较易

解析收藏试题篮
5．若$( \sqrt[6]{x}+ \dfrac {1}{ \sqrt[6]{x}})^{n}$展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
$(1)$求$n$的值及展开式中二项式系数最大的项．
$(2)$此展开式中是否有常数项，为什么？

难度：较易

解析收藏试题篮
6．在$( \sqrt {x}+ \dfrac {1}{2\cdot \sqrt[4]{x}})^{n}$的展开式中，前三项的系数成等差数列．
$($Ⅰ$)$求$n$的值；
$($Ⅱ$)$求展开式中二项式系数和$($用数字作答$)$；

难度：较难

解析收藏试题篮
7．已知二项式（a+2x）ⁿ（a∈R⁺，n∈N*且n＞1）
（1）若n=6，展开式中含x²项的系数为960，求a的值；
（2）若展开式中各项系数和为3¹⁰，且n+a=12，求展开式的所有二项式系数之和．

难度：中等

解析收藏试题篮
8．已知在 $%28%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D-%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B%20%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D%7D%29%5E%7Bn%7D$ 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大．
（1）求含x²的项的系数；
（2）求展开式中所有的有理项．

难度：难

解析收藏试题篮
9．已知f（x）=（x²+x+1）ⁿ（n∈N^*），g（x）是关于x的2n次多项式；
（1）若f（x²）g（x）=g（x³）恒成立，求g（1）和g（-1）的值；并写出一个满足条件的g（x）的表达式，无需证明．
（2）求证：对于任意给定的正整数n，都存在与x无关的常数a₀，a₁，a₂，…，a_n，使得f（x）=a₀（1+x²ⁿ）+a₁（x+x^2n-1）+a₂（x²+x^2n-2）+…+a_n-1（x^n-1+xⁿ⁺¹）+a_nxⁿ．

难度：中等

解析收藏试题篮
10．已知 $%28x%2B%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7Bx%7D%29%5E%7Bn%7D$ 展开式的二项式系数之和为64．
（1）求n；
（2）若展开式中常数项为 $%20%5Cfrac%20%7B35%7D%7B16%7D$ ，求m的值；

难度：较易

解析收藏试题篮

0/40

进入组卷