知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知\((1+2 \sqrt {x})^{n}\)的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的\(2\)倍，而等于它后一项的系数的\( \dfrac {5}{6}\)．
\((1)\)求该展开式中二项式系数最大的项；
\((2)\)求展开式中系数最大的项．

难度：中等

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2．
已知\((x^{2}- \dfrac {1}{ \sqrt {x}})^{n}\)的展开式中第三项与第五项的系数之比为\( \dfrac {3}{14}\)，求展开式中常数项．

难度：较易

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3．
已知\(( \sqrt[4]{x}+ \sqrt {x^{3}})^{n}\)展开式中的倒数第三项的系数为\(45.\)求：
\((1)\)含\(x^{5}\)的项；
\((2)\)系数最大的项．

难度：中等

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4．
已知\(f(x)=(1+x)^{m}+(1+x)^{n}(m,n∈N)\)的展开式中的\(x\)系数为\(19\)．
\((1)\)求\(f(x)\)展开式中\(x^{2}\)项系数的最小值；
\((2)\)当\(x^{2}\)项系数最小时，求\(f(x)\)展开式中\(x^{7}\)项的系数．

难度：较易

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5．
已知\(( \sqrt {x}+ \dfrac {2}{ \sqrt {x}})^{n}\)展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．
\((\)Ⅰ\()\)求\(n\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)此展开式中是否有常数项？为什么？

难度：较难

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6．
已知\(f(x)=(1+x)^{m}+(1+3x)^{n}\) \((m\)、\(n∈N^{*})\)的展开式中\(x\)的系数为\(11\)．
\((1)\)求\(x^{2}\)的系数的最小值；
\((2)\)当\(x^{2}\)的系数取得最小值时，求\(f(x)\)展开式中\(x\)的奇次幂项的系数之和．

难度：较易

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7．
\((1)\)求证：\(4×6^{n}+5^{n+1}-9\)是\(20\)的倍数\((n∈N_{+})\)；
\((2)\)今天是星期一，再过\(3^{100}\)天是星期几？

难度：较易

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8．
已知\((1+m \sqrt {x})^{n}(m\)是正实数\()\)的展开式的二项式系数之和为\(256\)，展开式中含\(x\)项的系数为\(112\)．
\((1)\)求\(m\)，\(n\)的值；
\((2)\)求展开式中奇数项的二项式系数之和；
\((3)\)求\((1+m \sqrt {x})^{n}(1-x)\)的展开式中含\(x^{2}\)项的系数．

难度：较易

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9．
在二项式\(( \sqrt {x}+ \dfrac {1}{2 \sqrt {x}})^{n}\)的展开式中，前三项系数成等差数列．
\((I)\)求展开式中的常数项；
\((\)Ⅱ\()\)求展开式中系数最大的项．

难度：较易

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10．
已知数列\(\{a_{n}\}\)和\(\{b_{n}\}\)的通项公式分别为\(a_{n}=3n-19\)，\(b_{n}=2^{n}.\)将\(\{a_{n}\}\)与\(\{b_{n}\}\)中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为\(\{c_{n}\}.\)
\((1)\)试写出\(c_{1}\)，\(c_{2}\)，\(c_{3}\)，\(c_{4}\)的值，并由此归纳数列\(\{c_{n}\}\)的通项公式；
\((2)\)证明你在\((1)\)所猜想的结论．

难度：难

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