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          共50条信息

            • 1．
              设\(F_{1}\)、\(F_{2}\)分别是椭圆\( \dfrac {x^{2}}{4}+y^{2}=1\)的左、右焦点．
              \((\)Ⅰ\()\)若\(P\)是第一象限内该椭圆上的一点，且\( \overrightarrow{PF_{1}}\cdot \overrightarrow{PF_{2}}=- \dfrac {5}{4}\)，求点\(P\)的坐标；
              \((\)Ⅱ\()\)设过定点\(M(0,2)\)的直线\(l\)与椭圆交于不同的两点\(A\)、\(B\)，且\(∠AOB\)为锐角\((\)其中\(O\)为坐标原点\()\)，求直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围．
              难度：较难
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            • 2．
              如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，椭圆\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\(F_{1}(-c,0)\)，\(F_{2}(c,0).\)已知\((1,e)\)和\((e, \dfrac { \sqrt {3}}{2})\)都在椭圆上，其中\(e\)为椭圆的离心率．
              \((1)\)求椭圆的方程；
              \((2)\)设\(A\)，\(B\)是椭圆上位于\(x\)轴上方的两点，且直线\(AF_{1}\)与直线\(BF_{2}\)平行，\(AF_{2}\)与\(BF_{1}\)交于点\(P\)．
                \((i)\)若\(AF_{1}-BF_{2}= \dfrac { \sqrt {6}}{2}\)，求直线\(AF_{1}\)的斜率；
                \((ii)\)求证：\(PF_{1}+PF_{2}\)是定值．
              难度：中等
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            • 3．

              已知椭圆\(E\)：\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)经过点\(M\left( \left. 1, \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} \right. \right)\)，离心率为\( \dfrac{ \sqrt{3}}{3}\)．

              \((1)\)求椭圆\(E\)的标准方程；

              \((2)\)若\(A_{1}\)，\(A_{2}\)分别是椭圆\(E\)的左、右顶点，过点\(A_{2}\)作直线\(l\)与\(x\)轴垂直，点\(P\)是椭圆\(E\)上的任意一点\((\)不同于椭圆\(E\)的四个顶点\()\)，连接\(PA_{1}\)交直线\(l\)于点\(B\)，点\(Q\)为线段\(A_{2}B\)的中点，求证：直线\(PQ\)与椭圆\(E\)只有一个公共点．

              难度：较难
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            • 4． 已知抛物线\(y^{2}=4x\)，点\(M(1,0)\)关于\(y\)轴的对称点为\(N\)，直线\(l\)过点\(M\)交抛物线于\(A\)，\(B\)两点．
              \((\)Ⅰ\()\)证明：直线\(NA\)，\(NB\)的斜率互为相反数；
              \((\)Ⅱ\()\)求\(\triangle ANB\)面积的最小值；
              \((\)Ⅲ\()\)当点\(M\)的坐标为\((m,0)(m > 0\)，且\(m\neq 1).\)根据\((\)Ⅰ\()(\)Ⅱ\()\)推测并回答下列问题\((\)不必说明理由\()\)：
              \(①\)直线\(NA\)，\(NB\)的斜率是否互为相反数？
              \(②\triangle ANB\)面积的最小值是多少？
              难度：中等
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            • 5．

              已知椭圆\(C\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(\)\(a\)\( > \)\(b\)\( > 0)\)的离心率为\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，长轴长等于圆\(R\)：\(x\)\({\,\!}^{2}+(\)\(y\)\(-2)^{2}=4\)的直径，过点\(P\)\((0,1)\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于两点\(A\)，\(B\)\(.\)与圆\(R\)交于两点\(M\)，\(N\)．

              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程

              \((2)\)求证：直线\(R\)\(A\)，\(R\)\(B\)的斜率之和等于零；

              \((3)\)求\(｜\)\(AB\)\(｜·｜\)\(MN\)\(｜\)的取值范围．

              难度：较难
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            • 6．
              设\(F_{1}\)、\(F_{2}\)分别是椭圆\( \dfrac {x^{2}}{4}+y^{2}=1\)的左、右焦点．
              \((\)Ⅰ\()\)若\(P\)是该椭圆上的一个动点，求\( \overrightarrow{PF_{1}}\cdot \overrightarrow{PF_{2}}\)的最大值和最小值；
              \((\)Ⅱ\()\)设过定点\(M(0,2)\)的直线\(l\)与椭圆交于不同的两点\(A\)、\(B\)，且\(∠AOB\)为锐角\((\)其中\(O\)为坐标原点\()\)，求直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 7．

              已知椭圆\(C\)的中心在坐标原点，焦点在\(x\)轴上，离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，过椭圆的左焦点\(F\)且倾斜角为\(60^{\circ}\)的直线与圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}\)相切．

              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

              \((2)\)若直线\(l\)：\(y=kx+m\)与椭圆\(C\)相交于\(M\)，\(N\)两点\((M,N\)是左、右顶点\()\)，若以\(MN\)为直径的圆恰好过椭圆\(C\)的右顶点\(A.\)判断直线\(l\)是否过定点，若是，求出该定点的坐标，若不是，请说明理由．

              难度：较难
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            • 8．

              椭圆\(C\)：\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+ \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left(a > b > 0\right) \)过点\(M\left(2,0\right) \)，且右焦点为\(F\left(1,0\right) \)，过\(F\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点\(.\)设点\(P\left(4,3\right) \)，记\(PA\)、\(PB\)的斜率分别为\({k}_{1} \)和\({k}_{2} \)．

              \((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

              \((2)\)如果直线\(l\)的斜率等于\(-1\)，求出\({k}_{1}·{k}_{2} \)的值；

              \((3)\)探讨\({k}_{1}+{k}_{2} \)是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出\({k}_{1}+{k}_{2} \)的取值范围．

              难度：难
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            • 9．

              已知双曲线\(C: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 \)经过点\(\left(2,3\right) \)，两条渐近线的夹角为\(60^{\circ} \)，直线\(l \)交双曲线于\(A \)、\(B \)两点；

              \((1)\)求双曲线\(C \)的方程；

              \((2)\)若\(l \)过原点，\(P \)为双曲线上异于\(A\)、\(B\)的一点，且直线\(PA\)、\(PB\)的斜率\({k}_{PA} \)、\({k}_{PB} \)均存在，求证：\({k}_{PA}·{k}_{PB} \)为定值；

              \((3)\)若\(l \)过双曲线的右焦点\({F}_{1} \)，是否存在\(x \)轴上的点\(M\left(m,0\right) \)，使得直线\(l \)绕点\({F}_{1} \)无论怎样转动，都有\( \overset{→}{MA}· \overset{→}{MB}=0 \)成立？若存在，求出\(M \)的坐标；若不存在，请说明理由；

              难度：较易
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            • 10． 若直线L：mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A（-2，3），B（3，2），求m的取值范围．
              难度：中等
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