知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
在直角坐标系\(xOy\)中，过点\(P( \dfrac { \sqrt {3}}{2}, \dfrac {3}{2})\)作倾斜角为\(α\)的直线\(l\)与曲线\(C\)：\(x^{2}+y^{2}=1\)相交于不同的两点\(M\)，\(N\)．
\((1)\)写出直线\(l\)的参数方程；
\((2)\)求 \( \dfrac {1}{|PM|}+ \dfrac {1}{|PN|}\)的取值范围．

难度：难

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2．
已知椭圆\(C\)：\(9x^{2}+y^{2}=m^{2}(m > 0)\)，直线\(l\)不过原点\(O\)且不平行于坐标轴，\(l\)与\(C\)有两个交点\(A\)，\(B\)，线段\(AB\)的中点为\(M\)．
\((1)\)证明：直线\(OM\)的斜率与\(l\)的斜率的乘积为定值；
\((2)\)若\(l\)过点\(( \dfrac {m}{3},m)\)，延长线段\(OM\)与\(C\)交于点\(P\)，四边形\(OAPB\)能否为平行四边形？若能，求此时\(l\)的斜率；若不能，说明理由．

难度：难

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3．
已知两点\(A(1,3)\)，\(B(4,0)\)，直线\(l\)：\(ax+y-2a+1=0.\)当直线\(l\)与线段\(AB\)相交时，试求直线\(l\)斜率的取值范围 ______ ．

难度：较易

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4．
已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\dfrac{{{y}^{2}}}{n}=1\left( 0 < n < 2 \right)\)．

\((\)Ⅰ\()\)若椭圆\(C\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，求\(n\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)若过点\(N\left( -2,0 \right)\)任作一条直线\(l\)与椭圆\(C\)交于不同的两点\(A,B\)，在\(x\)轴上是否存在点\(M\)，使得\(\angle NMA+\angle NMB=180{}^\circ \)？若存在，求出点\(M\)的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：难

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5．
\((1)\)已知直线\(m\)过点\((2,4)\)且垂直于两平行直线\(x-y+1=0\)，\(x-y+2=0\)，求直线\(m\)的方程．

\((2)\)若直线\(l\)过点\((2,4)\)且被两平行直线\(x-y+1=0\)，\(x-y+2=0\)所截得的线段的中点在直线\(x+2y-3=0\)上，求直线\(l\)的方程。

难度：难

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6．
已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1\) ．

\((\)Ⅰ\()\)若\(P\)，\(Q\)为椭圆\(C\)上两点，且线段\(PQ\)的中点为\(\left( 1,\dfrac{1}{2} \right)\)，求直线\(PQ\)的斜率；

\((\)Ⅱ\()\)过\(\left(1,0\right) \)且与\(x\)轴不垂直的直线交椭圆于\(M\)，\(N\)两点，在\(x\)轴上是否存在定点\(A\)，使得\(\angle OAM=\angle OAN\)，若存在，求出定点\(A\)的坐标，若不存在，说明理由．

难度：难

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7．

已知抛物线\(y^{2}=4x\)的焦点为\(F\)，直线\(l\)过点\(M(4,0)\)．

\((1)\)若点\(F\)到直线\(l\)的距离为\( \sqrt{3}\)，求直线\(l\)的斜率；

\((2)\)设\(A\)，\(B\)为抛物线上两点，且\(AB\)不垂直于\(x\)轴，若线段\(AB\)的垂直平分线恰过点\(M\)，求证：线段\(AB\)中点的横坐标为定值．

难度：难

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8．
直线\( \sqrt {3}x-y+1=0\)的倾斜角为 ______ ．

难度：较易

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9．
\((1)\)已知直线的倾斜角的范围是\(\alpha \in \left[ \dfrac{\pi }{4},\dfrac{\pi }{2} \right]\)，则此直线的斜率\(k\)的取值范围是_______．

\((2)\)若等比数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)满足\({{a}_{2}}+{{a}_{4}}=20,{{a}_{3}}+{{a}_{5}}=40\)，则前\(n\)项\({{S}_{n}}=\) ___ __．

\((3)\)如图，在四边形\(ABCD\)中，已知\(AD\)\(⊥\)\(CD\)，\(AD\)\(=10\)，\(AB\)\(=14\)，\(∠\)\(BDA\)\(=60^{\circ}\)，\(∠\)\(BCD\)\(=135^{\circ}\)，则\(BC\)的长为_______．

\((4)\)已知三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的\(6\)个顶点都在球\(O\)的球面上，若\(AB=3\)，\(AC=4\)，\(AB⊥AC\)，\(AA_{1}=12\)，则球\(O\)的半径为_______．

难度：较难

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10．
已知圆\(C:{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=4\)外的有一点\(P\left( 4,-1 \right)\)，过点\(P\)作直线\(l\)．

\((1)\)当直线\(l\)与圆\(C\)相切时，求直线\(l\)的方程；

\((2)\)当直线\(l\)的倾斜角为\({{135}^{0}}\)时，求直线\(l\)被圆\(C\)所截得的弦长．

难度：中等

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