已知椭圆\({C}:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线\(\sqrt{7}x-\sqrt{5}y+12=0\)相切．

\((1)\)求椭圆\({C}\)的方程；

\((2)\)设\({A} \left( -4,0 \right)\)，过点\({R}\left( 3,0 \right)\)作与\(x\)轴不重合的直线\(l\)交椭圆\({C}\)于\(P\)，\(Q\)两点，连接\(AP\)，\(AQ\)分别交直线\(x=\dfrac{16}{3}\)于\({M} \)，\({N} \)两点，若直线\({M} {R}\)、\({N} {R}\)的斜率分别为\({{k}_{1}}\)、\({{k}_{2}}\)，试问：\({{k}_{1}}{{k}_{2}}\)是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

已知点\(A(-2,1)\)，在坐标轴上求一点\(P\)使直线\(PA\)的倾斜角为\(30^{\circ}\)．

已知椭圆\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左、右焦点分别为\({{F}_{1}},{{F}_{2}}\)，椭圆\(C\)过点\(P(1\ ,\ \dfrac{\sqrt{2}}{2})\)，直线\(P{{F}_{1}}\)交\(y\)轴于\(Q\)，且\(\overrightarrow{P{{F}_{2}}}=2\overrightarrow{QO}\)，\(O\)为坐标原点．

\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；

\((2)\)设\(M\)是椭圆\(C\)的上顶点，过点\(M\)分别作直线\(MA\ ,\ MB\)交椭圆\(C\)于\(A,B\)两点，设这两条直线的斜率分别为\({{k}_{1}}\ ,\ {{k}_{2}}\)，且\({{k}_{1}}+{{k}_{2}}=2\)，若直线\(AB\)斜率存在，求证：直线\(AB\)过定点．

\((1)\)写出该抛物线的方程及其准线方程；

\((2)\)当\(PA\)与\(PB\)的斜率存在且倾斜角互补时，求\(y\)\({\,\!}_{1}+\)\(y\)\({\,\!}_{2}\)的值及直线\(AB\)的斜率．

椭圆\(C\)：过点\(M(2,0)\)，且右焦点为\(F(1,0)\)，过\(F\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点\(.\)设点\(P(4,3)\)，记\(PA\)、\(PB\)的斜率分别为\(k_{1}\)和\(k_{2}\)．

​
\((1)\)求椭圆\(C\)的方程；
\((2)\)如果直线\(l\)的斜率等于\(-1\)，求出\(k_{1}⋅k_{2}\)的值；
\((3)\)探讨\(k_{1}+k_{2}\)是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出\(k_{1}+k_{2}\)的取值范围．

已知定直线\(l:y=x+3\)，定点\(A(2,1)\)，以坐标轴为对称轴的椭圆\(C\)过点\(A\)且与\(l\)相切．

\((1)\)设直线\(PF\)、\(QF\)的斜率分别为\(k\)、\(k{{'}}\)，求证：为定值；

\((2)\)若且\(\triangle APQ\)的面积为，求椭圆\(C\)的方程．