知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（-1，0）．
（Ⅰ）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）设点P在直线l上的射影为点M，点N的坐标为（2，1），求|MN|的取值范围．

难度：中等

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2．已知3A+4B+5C=0．求证：直线Ax+By+C=0必过某定点P，并求出点P的坐标．

难度：较易

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3．设直线l的方程为（m²-2m-3）x+（2m²+m-1）y=2m+2
（1）直线l在x轴上的轴距为-3，求实数m的值；
（2）直线l斜率为1，求实数m的值；
（3）对于∀m∈R，直线l总过哪个定点．

难度：较易

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4．第一象限内点P在x轴、y轴上的投影分别是A和B，若矩形APBO的周长为定值2m，试证明：过P垂直于AB的直线PC恒过定点，并求出顶点坐标．

难度：中等

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5．已知A，B是抛物线y²=2px（p＞0）上异于远点P的两点．F是抛物线的焦点，K_OA、K_OB分别表示直线OA，OB的斜率．且K_OA•K_OB=λ（λ为小于零的常数）
（1）证明直线AB恒过X轴上的一定点；
（2）设AB的中点为M，点M在抛物线的准线上的射影为点N，若∠AFB=120°，求
|AB|
|MN|
的最小值及取得最小值时λ的值．

难度：中等

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6．求证：当λ变化时，直线（λ+2）x+（1-λ）y-4λ-5=0，都经过一个定点，并求该定点的坐标．

难度：较易

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7．已知圆C的方程为x²+y²=4，直线l的方程为（λ-1）x+（λ-1）y+1-λ=0（λ∈R）直线l与圆C交于PQ两点，设O为原点．求证：对任意实数λ直线l过定点E．

难度：较易

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8．已知
1
m
+
1
n
=
1
k
（m，n是变量，k是常数），求证：直线
x
m
+
y
n
=1恒过一个定点，并求出这个定点的坐标．

难度：较易

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9．已知抛物线C的顶点为P（0，4），焦点为F（0，
15
4
），直线l与抛物线C交于点M、N两点，且∠MPN=90°
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）证明直线MN过一定点．

难度：中等

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10．已知不论m为何值，直线l：（m+2）x+（1-2m）y+4-3m=0恒过一定点M．
（1）求点M的坐标；
（2）设直线l₁过点M且夹在两坐标轴间的线段被M平分，求l₁的方程；
（3）设直线l₂过点M且和两坐标轴负半轴围成的三角形面积最小，求l₂的方程．

难度：中等

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