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已知平面上不重合的四点\(A(1,-2a)\),\(B(2,a)\),\(c(2+a,0)\),\(D(2a,1)\).
\((1)\)当\(a\)为何值时,\(A\)、\(B\)、\(C\)三点共线?
\((2)\)当\(a\)为何值时,直线\(AB\)和直线\(CD\)垂直?
已知椭圆\({C}:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\),以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线\(\sqrt{7}x-\sqrt{5}y+12=0\)相切.
\((1)\)求椭圆\({C}\)的方程;
\((2)\)设\({A} \left( -4,0 \right)\),过点\({R}\left( 3,0 \right)\)作与\(x\)轴不重合的直线\(l\)交椭圆\({C}\)于\(P\),\(Q\)两点,连接\(AP\),\(AQ\)分别交直线\(x=\dfrac{16}{3}\)于\({M} \),\({N} \)两点,若直线\({M} {R}\)、\({N} {R}\)的斜率分别为\({{k}_{1}}\)、\({{k}_{2}}\),试问:\({{k}_{1}}{{k}_{2}}\)是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
\((1)\)写出该抛物线的方程及其准线方程;
\((2)\)当\(PA\)与\(PB\)的斜率存在且倾斜角互补时,求\(y\)\({\,\!}_{1}+\)\(y\)\({\,\!}_{2}\)的值及直线\(AB\)的斜率.
椭圆\(C\):过点\(M(2,0)\),且右焦点为\(F(1,0)\),过\(F\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点\(.\)设点\(P(4,3)\),记\(PA\)、\(PB\)的斜率分别为\(k_{1}\)和\(k_{2}\).
\((1)\)求椭圆\(C\)的方程;\((2)\)如果直线\(l\)的斜率等于\(-1\),求出\(k_{1}⋅k_{2}\)的值;\((3)\)探讨\(k_{1}+k_{2}\)是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出\(k_{1}+k_{2}\)的取值范围.
已知定直线\(l:y=x+3\),定点\(A(2,1)\),以坐标轴为对称轴的椭圆\(C\)过点\(A\)且与\(l\)相切.
\((1)\)设直线\(PF\)、\(QF\)的斜率分别为\(k\)、\(k{{'}}\),求证:为定值;
\((2)\)若且\(\triangle APQ\)的面积为,求椭圆\(C\)的方程.
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