知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=4
（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C₁截得的弦长为2
3
，求直线l的方程
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标．

难度：中等

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2．如图，P是抛物线C：y=
1
2
x2上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q．
（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
（2）若
OP
•
OQ
=0，求过点P，Q，O的圆的方程．

难度：较难

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3．已知直线x-y+1=0经过椭圆S：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点．
（1）求椭圆S的方程；
（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．
①若直线PA平分线段MN，求k的值；
②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

难度：较难

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4．已知直线l过点P（-1，2），且倾斜角的余弦值为
2
2
．
（1）求直线l的一般式方程；
（2）求直线l与坐标轴围成的三角形绕y轴在空间旋转成的几何体的体积．

难度：中等

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5．已知：A（8，-6），B（3，-1）和C（t，7）
（Ⅰ）若A，B，C三点共线，试求t的值．
（Ⅱ）若点C在直线AB的中垂线上，试求t的值．

难度：中等

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6．已知直线l₁：2x-y-8=0和直线l：3x+y-2=0．
（Ⅰ）求经过直线l₁与直线l的交点，且过点（-1，0）的直线的方程；
（Ⅱ）求直线l₁关于直线l对称的直线l₂的方程．

难度：较难

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7．求满足下列条件的直线方程
（1）过点（-2，3），且在两坐标轴上截距相等；
（2）过点（2，-3），且到A（-1，1）和B（5，5）的距离相等．

难度：中等

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8．已知直线l经过点A（1，3），求：
（1）直线l在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
（2）直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程．

难度：较易

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9．已知0＜k＜4，直线l₁：kx-2y-2k+8=0和直线l2：2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．

难度：中等

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10．已知直线l：（a-2）y=（3a-1）x-1
（1）求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．
（2）为使直线不经过第二象限，求实数a取值范围．
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大，求l的方程．

难度：较难

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