知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l：x=2的距离的比为 $\text{[math]}$ ，
（Ⅰ）求点M的轨迹．
（Ⅱ）是否存在点M到直线 $\text{[math]}$ +y=1的距离最大？最大距离是多少？

难度：中等

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2．设点P是圆x²+y²=4上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．

难度：中等

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3．已知圆N经过点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y﹣2=0上．
（Ⅰ）求圆N的方程；
（Ⅱ）求圆N关于直线x﹣y+3=0对称的圆的方程．
（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．

难度：中等

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4．点M与定点F（0，2）的距离和它到定直线y=8的距离的比是1：2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．

难度：中等

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5．已知动点P（x，y）及两定点A（-3，0）和B（3，0），若
|PA|
|PB|
=2，（|PA|、|PB|分别表示点P与点A、B的距离）
（1）求动点P的轨迹Γ方程．
（2）动点Q在直线y-x-1=0上，且QM、QN是轨迹Γ的两条切线，M、N是切点，C是轨迹Γ中心，求四边形OMCN面积的最小值及此时直线MN的方程．

难度：中等

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6．已知点H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在PQ上，且满足
HP
•
PM
=0，
PM
=-
3
2
MQ
．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹方程C；
（2）给定圆N：x²+y²=2x，过圆心N作直线l，此直线与圆N和（1）中的轨迹C共有四个交点，自上而下顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l的方程．

难度：较难

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7．已知点A（-2，0），B（1，0），平面内的动点P满足|PA|=λ|PB|（λ为常数，λ＞0）．
（1）求点P的轨迹E的方程，并指出其表示的曲线的形状．
（2）当λ=2时，P的轨迹E与x轴交于C、D两点，M是轨迹上异于C、D的任意一点，直线l：x=-3，直线CM与直线l交于点C′，直线DM与直线l交于点D'．求证：以C′D′为直径的圆总过定点，并求出定点坐标．

难度：较难

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8．已知方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0．
（1）当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆；
（2）当m在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程．

难度：较难

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9．已知点A（0，-2），B（0，4），动点P（x，y）满足
PA
•
PB
=y²-8．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹与直线y=x+b交于C、D两点，且OC⊥OD（O为原点），求b的值．

难度：中等

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10．如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：
（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；
（2）证明：E G⊥D F．

难度：中等

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