\((1)\)设向量\(a=(x,x+1)\)，\(b=(1,2)\)，且\(a⊥b\)，则\(x=\)________．

\((2)\)已知\(θ\)是第四象限角，且\(\sin (\theta +\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{4})=\dfrac{3}{5}\)，则\(\tan (\theta -\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{4})=\)________．

\((3)\)设直线\(y=x+2a\)与圆\(C\)：\(x^{2}+y^{2}-2ay-2=0\)相交于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AB|=2\sqrt{3}\)，则圆\(C\)的面积为________．

\((4)\)某高科技企业生产产品\(A\)和产品\(B\)需要甲、乙两种新型材料\(.\)生产一件产品\(A\)需要甲材料\(1.5kg\)，乙材料\(1kg\)，用\(5\)个工时；生产一件产品\(B\)需要甲材料\(0.5kg\)，乙材料\(0.3kg\)，用\(3\)个工时\(.\)生产一件产品\(A\)的利润为\(2100\)元，生产一件产品\(B\)的利润为\(900\)元\(.\)该企业现有甲材料\(150kg\)，乙材料\(90kg\)，则在不超过\(600\)个工时的条件下，生产产品\(A\)、产品\(B\)的利润之和的最大值为________元．

直线\(y{=}kx{+}3\)与圆\((x{-}2)^{2}{+}(y{-}3)^{2}{=}4\)相交于\(M\)，\(N\)两点，若\({|}MN{|} \geqslant 2\)，则\(k\)的取值范围是\((\)　　\()\)

直线\(\ell \)：\(kx+y+4=0(k∈R)\)是圆\(C\)：\(x^{2}+y^{2}+4x-4y+6=0\)的一条对称轴，过点\(A(0,k)\)作斜率为\(1\)的直线\(m\)，则直线\(m\)被圆\(C\)所截得的弦长为\((\)　　\()\)

已知动直线\(\left( 2+\lambda \right)x+\left( 1-2\lambda \right)y+4-3\lambda =0\)与圆\(C\)：\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=9\)相交，则相交的最短弦的长度为_____________．

\((1)\)已知函数\(f\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+a \right)\)，若\(f\left( 3 \right)=1\)，则\(a=\)________．

\((2)\)若\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}\begin{matrix}x-2y-2\leqslant 0 \\ x-y+1\geqslant 0\end{matrix} \\ y\leqslant 0\end{cases} \)，则\(z=3x+2y\)的最大值为________．

\((3)\)直线\(y=x+1\)与圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y-3=0\)交于\(A\)，\(B\)两点，则\(\left| AB \right|=\)________．

\((4)\triangle ABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，已知\(b\sin C+c\sin B=4a\sin B\sin C\)，\({{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}=8\)，则\(\triangle ABC\)的面积为________．

直线\(x+ \sqrt{3}y-2=0 \)与圆\({x}^{2}+{y}^{2}=4 \)相交于\(A\)，\(B\)两点，则弦\(AB\)的长度等于\((\)  \()\)