已知圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=4\)，点\(A(- \sqrt{3},0)\)，\(B( \sqrt{3},0)\)，以线段\(AP\)为直径的圆\(C_{1}\)内切于圆\(O.\)记点\(P\)的轨迹为\(C_{2}\)．

\((1)\)证明：\(|AP|+|BP|\)为定值，并求\(C_{2}\)的方程；

\((2)\)过点\(O\)的一条直线交圆\(O\)于\(M\)，\(N\)两点，点\(D(-2,0)\)，直线\(DM\)，\(DN\)与\(C_{2}\)的另一个交点分别为\(S\)，\(T.\)记\(\triangle DMN\)，\(\triangle DST\)的面积分别为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，求\( \dfrac{S_{1}}{S_{2}}\)的取值范围．

已知圆\(C\)的圆心在\(x\)轴的正半轴上，点\(M(0,\sqrt{5})\)在圆\(C\)上，且圆心到直线\(2x-y=0\)的距离为\(\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\)，则圆\(C\)的方程为____．

如图所示，已知\(A\)、\(B\)、\(C\)是长轴长为\(4\)的椭圆\(E\)上的三点，点\(A\)是长轴的一个端点，\(BC\)过椭圆中心\(O\)，且\( \overrightarrow{AC}· \overrightarrow{BC}=0 \)，\(|BC|=2|AC|\)．

\((1)\)求椭圆\(E\)的方程；

\((2)\)在椭圆\(E\)上是否存点\(Q\)，使得\(|QB{{|}^{2}}-|QA{{|}^{2}}=2\)？若存在，有几个\((\)不必求出\(Q\)点的坐标\()\)，若不存在，请说明理由．

\((3)\)过椭圆\(E\)上异于其顶点的任一点\(P\)，作\(\odot O:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{4}{3}\)的两条切线，切点分别为\(M\)、\(N\)，若直线\(MN\)在\(x\)轴、\(y\)轴上的截距分别为\(m\)、\(n\)，证明：\(\dfrac{1}{3{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}\)为定值．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，如图，已知椭圆\(E\)：\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)\)的左、右顶点分别为\(A_{1}\)，\(A_{2}\)上、下顶点分别为\(B_{1}\)，\(B_{2}.\)设直线\(A_{1}B_{1}\)的倾斜角的正弦值为\(\dfrac{1}{3}\)，圆\(C\)与以线段\(OA_{2}\)为直径的圆关于直线\(A_{1}B_{1}\)对称．

\((1)\)求椭圆\(E\)的离心率；

\((2)\)判断直线\(A_{1}B_{1}\)与圆\(C\)的位置关系，并说明理由．

求圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x+2y=0\)关于直线\(x-y+1=0\)对称的圆的方程．

在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知点\(A(0,3)\)，直线\(l:y=2x-4\)，设圆\(C\)的半径为\(1\)，圆心在直线\(l\)上，圆心\(C\)也在直线\(y=x-1\)上，过点\(A\)作圆\(C\)的切线，求切线的方程．

已知圆心为\(C\)的圆，满足下列条件：圆心\(C\)位于\(x\)轴正半轴上，与直线\(3\)\(x\)\(-4\)\(y\)\(+7=0\)相切，且被\(y\)轴截得的弦长为\(2 \sqrt{3}\)，圆\(C\)的面积小于\(13\)。

\((1)\)求圆\(C\)的标准方程；

\((2)\)设过点\(M\)\((0,3)\)的直线\(l\)与圆\(C\)交于不同的两点\(A\)，\(B\)，以\(OA\)，\(OB\)为邻边作平行四边形\(OADB\)。是否存在这样的直线\(l\)，使得直线\(OD\)与\(MC\)恰好平行？如果存在，求出\(l\)的方程；如果不存在，请说明理由。