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          共50条信息

            • 1．

              过定点\(\left( 2,3 \right)\)的直线与双曲线\({{x}^{2}}-{{y}^{2}}=4\)的右半支只有一个交点，则该直线的倾斜角的取值范围是___________．

              难度：较难
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            • 2． 在平面直角坐标系中，\(O\)为坐标原点，给定两点\(A(1,0)\)，\(B(0,-2)\)，点\(C\)满足\( \overrightarrow{OC}=(m \overrightarrow{OA}+n \overrightarrow{OB})\)，其中\(m\)，\(n∈R\)且\(m-2n=1\)．
              \((1)\)求点\(C\)的轨迹方程；
              \((2)\)设点\(C\)的轨迹与双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0\)且\(a\neq b)\)交于\(M\)、\(N\)两点，且以\(MN\)为直径的圆过原点，求证：\( \dfrac {1}{a^{2}}- \dfrac {1}{b^{2}}\)为定值；
              \((3)\)在\((2)\)的条件下，若双曲线的离心率不大于\( \sqrt {3}\)，求双曲线实轴长的取值范围．
              难度：难
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            • 3．

              已知双曲线\(C: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}\left(a > 0,b > 0\right) \)的右焦点为\(F\)，过\(F\)向双曲线的一条渐近线引垂线垂足为\(M\)，与另一条渐近线于点\(N.\)若\(2 \overrightarrow{MF}= \overrightarrow{FN} \)，则双曲线的离心率为___________________．

              难度：难
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            • 4． 求直线\( \begin{cases} x=2+t \\ y= \sqrt {3}t\end{cases}(t\)为参数\()\)被双曲线\(x^{2}-y^{2}=1\)所截得的弦长\(|AB|\)．
              难度：较易
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            • 5．
              已知函数\(f(x)=\dfrac{{e}^{x}}{x} +a(x-\ln x).(e\)为自然对数的底数\()\)
              \((\)Ⅰ\()\)当\(a > 0\)时，试求 \(f(x)\)的单调区间；
              \((\)Ⅱ\()\)若函数\(f(x)\)在\(x∈(\dfrac{1}{2} ,2)\)上有三个不同的极值点，求实数\(a\)的取值范围．
              已知双曲线\(\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 \) \((a > 0,b > 0)\)的右焦点为\(F(c,0)\)．
              \((1)\)若双曲线的一条渐近线方程为\(y=x\)且\(c=2\)，求双曲线的方程；

              \((2)\)以原点\(O\)为圆心，\(c\)为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为\(A\)，过\(A\)作圆的切线，斜率为\(-\)\(\sqrt{3} \)，求双曲线的离心率．

              难度：难
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            • 6．

              已知双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)\)的离心率为\(\sqrt{2}\)，过左焦点\({{F}_{1}}\left( -c,0 \right)\)作圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}\)的切线，切点为\(E\)，延长\({{F}_{1}}E\)交抛物线\({{y}^{2}}=4cx\)于点\(P\)，则线段\(PE\)的长为：

              A．\(a\)
              B．\(2a\)
              C．\(\left( 1+\sqrt{3} \right)a\)
              D．\(3a\)
              难度：难
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            • 7．

              已知双曲线\(C\)以\({F}_{1}\left(-2,0\right),{F}_{2}\left(2,0\right) \)为焦点，且过点\(P\left(7,12\right) \)．

              \((1)\)求双曲线\(C\)与其渐近线的方程；

              \((2)\)若斜率为\(1\)的直线\(l\)与双曲线\(C\)相交于\(A,B\)两点，且\(\overrightarrow{OA}\bot \overrightarrow{OB}(O\)为坐标原点\().\)求直线\(l\)的方程．

              难度：较易
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            • 8．

              双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)\)的右焦点为\(F\left( c,0 \right)\)．

              \((1)\)若双曲线的一条渐近线方程为\(y=x\)且\(c=2\)，求双曲线的方程；

              \((2)\)经过原点且倾斜角为\({{30}^{\circ }}\)的直线\(l\)与双曲线右支交于点\(A\)，且\(\triangle OAF\)是以\(AF\)为底边的等腰三角形，求双曲线的离心率\(e\)的值．

              难度：难
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            • 9． 已知双曲线\(C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > 0,b > 0)\)的两个焦点为\({{F}_{1}}(-2,0),{{F}_{2}}(2,0)\)，点\(P(3,\sqrt{7})\)在曲线\(C\)上\(.\)

              \((1)\)求双曲线\(C\)的方程；

              \((2)\)记\(O\)为坐标原点，过点\(Q(0,2)\)的直线\(l\)与双曲线\(C\)相交于不同两点\(E,F\)，若\(\Delta OEF\)的面积为\(2\sqrt{2}\)，求直线\(l\)的方程。

              难度：难
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            • 10． 已知双曲线\(C\)：\(x^{2}{-}y^{2}{=}1\)及直线\(l\)：\(y{=}kx{+}1\)．
              \((1)\)若\(l\)与\(C\)有两个不同的交点，求实数\(k\)的取值范围；
              \((2)\)若\(l\)与\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，且\(AB\)中点横坐标为\(\sqrt{2}\)，求\(AB\)的长．
              难度：较难
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