抛物线\(y=ax^{2}+bx\)在第一象限内与直线\(x+y=4\)相切，此抛物线与\(x\)轴所围成的图形的面积为\(S\)，求使\(S\)达到最大值时的\(a\)，\(b\)值，并求\(S_{max}\)．

已知直线\(x-2y-4=0\)与抛物线\(y^{2}=x\)相交于\(A\)，\(B\)两点，\(O\)是坐标原点，试在抛物线的弧\(AOB\)上求一点\(P\)，使\(\triangle ABP\)的面积最大，并求最大值．

已知倾斜角为\(\dfrac{π}{4} \)的直线经过抛物线\(r\)：\({y}^{2}=2px\left(p > 0\right) \)的焦点\(F\)，与抛物线\(r\)相交于\(A\)、\(B\)两点，且\(\left|AB\right|=8 \)．

\((\)Ⅰ\()\)求抛物线的方程；

\((\)Ⅱ\()\)过点\(P\left(12,8\right) \)的两条直线\({l}_{1} \)、\({l}_{2} \)分别交抛物线\(r\)于点\(C\)、\(D\)和\(E\)、\(F\)，线段\(CD\)和\(EF\)的中点分别为\(M\)、\(N.\)如果直线\({l}_{1} \)与\({l}_{2} \)的倾斜角互余，求证：直线\(MN\)经过一定点．

在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(M\)的参数方程为\(\begin{cases} x=\sin \alpha +\cos \alpha \\ y=2\sin \alpha \cos \alpha \end{cases}(α\)为参数\()\)，若以直角坐标系中的原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(N\)的极坐标方程为\(\rho \sin (\theta +\dfrac{\pi }{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}t(t\)为参数\()\)．

\((1)\)求曲线\(M\)的普通方程和曲线\(N\)的直角坐标方程；

\((2)\)若曲线\(N\)与曲线\(M\)有公共点，求\(t\)的取值范围．

如图，已知线段\(AE\)，\(BF\)为抛物线\(C:{{x}^{2}}=2py\left( p > 0 \right)\)的两条弦，点\(E\)、\(F\)不重合\(.\)函数\(y={a}^{x}(a > 0且a\neq 1) \)的图象所恒过的定点为抛物线\(C\)的焦点．

\((I)\)求抛物线\(C\)的方程；

\((\)Ⅱ\()\)已知\(A(2,1),B(-1,\dfrac{1}{4})\)，直线\(AE\)与\(BF\)的斜率互为相反数，且\(A\)，\(B\)两点在直线\(EF\)的两侧．

\(①\)问直线\(EF\)的斜率是否为定值\(?\)若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

\(②\)求\(\overrightarrow{OE}\cdot \overrightarrow{OF}\)的取值范围．

已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点为\(F\)，抛物线\(C\)上一点\((3,m)\)到焦点的距离为\(5\)．

\((1)\)求抛物线\(C\)的方程；

\((2)\)过点\(F\)作直线\(l\)交抛物线\(C\)于\(A\)，\(B\)两点，若线段\(AB\)中点的纵坐标为\(-1\)，求直线\(l\)的方程．

过点\(M(0,1)\)做斜率为\(k\)的直线\(l\)交抛物线\(C\)：\({{x}^{2}}=2y\)于\(A\)、\(B\)两点，已知点\(N(0,t)(t > 1)\)，以\(NA\)、\(NB\)为邻边作平行四边形\(NAPB.\)已知不论\(k\)取何值时点\(P\)都在抛物线\(C\)上\(.\)

\((\)Ⅰ\()\)求\(t\)的值；

\((\)Ⅱ\()\)过点\(P\)作直线\({{l}_{1}}\)和\({{l}_{2}}\)，若\({{l}_{1}}\)与抛物线\(C\)相切且交\(x\)轴于点\(Q\)，\({{l}_{2}}\)与\({{l}_{1}}\)垂直且交抛

物线\(C\)于另一点\(R .\)问是否存在点\(P\)使得\(|PQ|=|PR|\)，请说明理由．

已知定点\(F(0,1)\)和直线\(l_{1}\)：\(y=-1\)，过定点\(F\)与直线\(l_{1}\)相切的动圆的圆心为点\(C\)．

\((1)\)求动点\(C\)的轨迹方程；

\((2)\)过点\(F\)的直线\(l_{2}\)交轨迹于\(P\)，\(Q\)两点，交直线\(l_{1}\)于点\(R\)，求\(\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}\) 的最小值．