知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．己知椭圆C₁：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）和圆C₂：x²+y²=r²（r＞0），已知圆C₂的直径是椭圆C₁焦距长的
2
倍，且圆C₂的面积为4π，椭圆C₁的离心率为
6
3
，过椭圆C₁的上顶点A作一条斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C₁的另一个交点是B，与圆C₂相交于点E，F．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）当|AB|•|EF|=3
7
时，求直线l的方程，并求△F₂AB的面积（其中F₂为椭圆C₁的右焦点）

难度：中等

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2．椭圆y²+

=1（0＜m＜1）上存在点P使得PF₁⊥PF₂，则m的取值范围是（　　）

A．[

，1）

B．（0，

]

C．[

，1）

D．（0，

]

难度：中等

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3．在直角坐标系xOy中，圆x²+y²=4上一点P（x₀，y₀）（x₀y₀＞0）处的切线l分别交x轴、y轴于点A，B，以A，B为顶点且以O为中心的椭圆记作C，直线OP交C于M，N两点．
（Ⅰ）若P点坐标为（
3
，1），求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）证明|MN|＜4
2
．

难度：较难

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
2
，且斜率为
3
的直线l过椭圆C的焦点及点（0，-2
3
）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知一直线m过椭圆C的左焦点F，交椭圆于点P、Q，若直线m与两坐标轴都不垂直，点M在x轴上，且使MF为∠PMQ的一条角平分线，求点M的坐标．

难度：中等

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5．设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其离心率为
3
2
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为4+2
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设曲线C的上、下顶点分别为A、B，点P在曲线C上，且异于点A、B，直线AP，BP与直线l：y=-2分别交于点M，N．
（1）设直线AP，BP的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值；
（2）求线段MN长的最小值．

难度：中等

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6．已知椭圆E：
x2
2
+y²=1的右焦点为F，过F作互相垂直的两条直线分别与E相交于A，C和B，D四点．
（1）四边形ABCD能否成为平行四边形，请说明理由．
（2）求|AC|+|BD|的最小值．

难度：中等

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7．设F₁，F₂分别是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F₁的直线交椭圆E于A，B两点，AF₁=3BF₁．
（Ⅰ）若AB=4，△ABF₂的周长为16，求AF₂；
（Ⅱ）若cos∠AF₂B=
3
5
，求椭圆E的离心率．

难度：较难

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8．已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点P（
3
2
，-
5
2
），Q（-
3
，
5
）两点，求此椭圆的标准方程．

难度：较易

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9．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，且与y轴正半轴的交点为（0，1）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与C交于A、B两点，AB=2，求△AOB的面积的最大值．

难度：中等

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10．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为
3
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上是否存在关于直线l：x+y=
1
5
对称的两点A、B，若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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