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          共50条信息

            • 1．

              如图，已知抛物线 \(C\)：\({y}^{2}=2px \) 和\(⊙M \)：\({\left(x-4\right)}^{2}+{y}^{2}=1 \)，过抛物线\(C\)上一点\(H\left({x}_{0}\;,\;{y}_{0}\right)\left({y}_{0}\geqslant 1\right) \) 作两条直线与\(⊙M \)相切于\(A\)，\(B\)两点，分别交抛物线为\(E\)，\(F\)两点，圆心点\(M\)到抛物线准线的距离为\( \dfrac{17}{4} \)．

              \((1)\)求抛物线\(C\)的方程；

              \((2)\)当\(∠AHB \)的角平分线垂直\(x\)轴时，求直线\(EF\)的斜率；

              \((3)\)若直线\(AB\)在\(y\)轴上的截距为\(t\)，求\(t\)的最小值．

              难度：中等
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            • 2．

              如图所示，已知曲线\(C_{1}\)：\(y=x^{2}\)与曲线\(C_{2}\)：\(y=-x^{2}+2ax(a > 1)\)交于点\(O\)、\(A\)，直线\(x=t(0 < t\leqslant \) \(1)\)、\(C_{2}\)分别相交于点\(D\)、\(B\)，连接\(OD\)、\(DA\)、\(AB\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求曲边四边形\(ABOD(\)阴影部分\()\)的面积\(S\)与\(t\)的函数关系式\(S=f(t)\)；

              \((\)Ⅱ\() a\geqslant \)\( \dfrac{2+ \sqrt{2}}{2}\)时，求函数\(S=f(t)\)在区间\((0,1]\)上的最大值．


              难度：较易
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            • 3．

              已知抛物线\({{C}_{1}}:{{x}^{2}}=2py\)的焦点在抛物线\({{C}_{2}}:y={{x}^{2}}+1\)上，点\(P\)是抛物线\({{C}_{1}}\)上的动点．

              \((1)\)求抛物线\({{C}_{1}}\)的方程及其准线方程；

              \((2)\)过点\(P\)作抛物线\({{C}_{2}}\)的两条切线，\(A\)、\(B\)分别为两个切点，求\(\Delta PAB\)面积的最小值．

              难度：难
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            • 4．

              已知抛物线\(C\)的顶点在原点，其焦点\(F(0,c),c > 0\)到直线\(l:x-y-2=0\)的距离为\(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)，设\(P\)为直线\(l\)上的点，过点\(P\)作抛物线\(C\)的两条切线\(PA\)，\(PB\)，其中\(A,B\)为切点．

              \((1)\)求抛物线\(C\)的方程；

              \((2)\)当点\(P({{x}_{0}},{{y}_{0}})\)为直线\(l\)上的定点时，求直线\(AB\)的方程；

              \((3)\)当点\(P\)在直线\(l\)上移动时，求\(\left| AF \right|\cdot \left| BF \right|\)的最小值．

              难度：难
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            • 5．

              已知顶点在原点，焦点在\(x\)轴上的抛物线被直线\(y\)\(=2\)\(x\)\(+1\)截得的弦长为\( \sqrt{15} \)，求抛物线的方程．

              难度：较易
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            • 6．

              分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．

              \((1)\)焦点为\((-2,0)\)；

              \((2)\)准线为\(y=-1\)；

              \((3)\)过点\(A(2,3)\)；

              \((4)\)焦点到准线的距离为\(\dfrac{5}{2}\)．

              难度：较易
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            • 7．

              已知定点\(F(0,1)\)和直线\(l_{1}\)：\(y=-1\)，过定点\(F\)与直线\(l_{1}\)相切的动圆的圆心为点\(C\)．

              \((1)\)求动点\(C\)的轨迹方程；

              \((2)\)过点\(F\)的直线\(l_{2}\)交轨迹于\(P\)，\(Q\)两点，交直线\(l_{1}\)于点\(R\)，求\(\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}\) 的最小值．

              难度：较难
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            • 8．

              抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线\( \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 \)的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为\(\left( \dfrac{3}{2}, \sqrt{6}\right) .\)求抛物线与双曲线的方程．

              难度：较难
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            • 9．

              过抛物线\(C:{x}^{2}=2py\left(p > 0\right) \)的焦点 \(F\) 作直线 \(l\)与抛物线 \(C\) 交于 \(A\)，\(B\) 两点，当点 \(A\) 的纵坐标为\(1\)时，\(\left|AF\right|=2 \)．

              \((1)\)求抛物线 \(C\) 的方程；

              \((2)\)若直线 \(l\) 的斜率为\(2\)，问抛物线 \(C\) 上是否存在一点 \(M\) ，使得\(MA⊥MB \)，并说明理由．

              难度：难
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            • 10．

              已知抛物线\({{y}^{2}}=2px\ \left( p > 0 \right)\)与直线\(y=-x+1\)相交于\(A\)、\(B\)两点，以\(AB\)为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程．

              难度：较难
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