知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知M是直线l：x=-1上的动点，点F的坐标是（1，0），过M的直线l′与l垂直，并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N．
（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′，点P的坐标为（2，0），直线AP与曲线C的另一个交点为B（B与A′不重合），是否存在一个定点T，使得T，A′，B三点共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．已知过抛物线y²=4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）求F点坐标；
（Ⅱ）试问在x轴上是否存在一点T（不与F重合），使∠ATF=∠BTF？若存在，求出T点坐标；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）若P是抛物线上异于A，B的任意一点，l₁是抛物线的准线，直线PA、PB分别交l₁于点M、N，求证：
OM
•
ON
为定值，并求出该定值．

难度：中等

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3．设椭圆C₁的中心和抛物线C₂的顶点均为原点O，C₁、C₂的焦点均在x轴上，在C₁、C₂上各取两个点，将其坐标记录于表格中：
（1）求C₁、C₂的标准方程；
（2）过C₂的焦点F作斜率为k的直线l，与C₂交于A、B两点，若l与C₁交于C、D两点，若
|AB|
|CD|
=
5
3
，求直线l的方程
x 3 -2 4
3
y -2
3
0 -4 -
3
2

难度：中等

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4．已知抛物线C：y²=4x，P为C上一点且纵坐标为2，Q，R是C上的两个动点，且PQ⊥PR．
（Ⅰ）求过点P，且与C恰有一个公共点的直线l的方程；
（Ⅱ）求证：QP过定点，并求出定点坐标．

难度：中等

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5．已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴上，且过点（4，4）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设点P是抛物线上一动点，M点是PF的中点，求点M的轨迹方程．

难度：中等

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6．（1）设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)过点（0，4），离心率为
3
5
，求C的标准方程；
（2）已知抛物线的准线方程是y=-2，求抛物线的标准方程．

难度：较易

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7．已知M是直线l：x=-1上的动点，点F的坐标是（1，0），过M的直线l′与l垂直，并且l′与线段MF的垂直平分线相交于点N
（Ⅰ）求点N的轨迹C的方程
（Ⅱ）设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A′，点P的坐标为（2，0），直线AP与曲线C的另一个交点为B（B与A′不重合），直线P′H⊥A′B，垂足为H，是否存在一个定点Q，使得|QH|为定值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，P为C上异于原点的任意一点，过点P的直线l交C于另一点Q，交x轴的正半轴于点S，且有|FP|=|FS|．当点P的横坐标为3时，|PF|=|PS|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线l₁∥l，且l₁和C有且只有一个公共点E．
（ⅰ）证明直线PE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）△PQE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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9．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点F是双曲线：
3x2
5
-
3y2
7
=1的一个焦点；
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F任作直线l与曲线C交于A，B两点．
①求
OA
•
OB
的值；②由点A，B分别向（x-2）²+y²=1各引一条切线切点分别为P、Q，记α=∠AFP，β=∠BFQ，求cosα+cosβ的值．

难度：较难

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10．已知过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点，斜率为2
2
的直线交抛物线于A(x1，y2)，B(x2，y2)，且|AB|=
9
2

（1）求该抛物线的方程；
（2）在抛物线C上求一点D，使得点D直线y=x+3的距离最短．

难度：中等

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