知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，直角梯形地块ABCE，AF、EC是两条道路，其中AF是以A为顶点、AE所在直线为对称轴的抛物线的一部分，EC是线段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．计划在两条道路之间修建一个公园，公园形状为直角梯形QPRE（其中线段EQ和RP为两条底边）．记QP=x（km），公园面积为S（km²）．
（Ⅰ）以A为坐标原点，AE所在直线为x轴建立平面直角坐标系，求AF所在抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求面积S（km²）关于x（km）的函数解析式；
（Ⅲ）求面积S（km²）的最大值．

难度：难

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2．已知椭圆C的中心为原点O，焦点在x轴上，且经过点 $A_%7B1%7D%28-2%EF%BC%8C0%29%EF%BC%8CA_%7B2%7D%28%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D%29$
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过抛物线y²=4x的焦点F的直线l与椭圆C交于不同两点M，N，且满足 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D$ ⊥ $%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，求直线l的方程．

难度：较易

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3．倾斜角 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ 的直线l过抛物线y²=4x焦点，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）求直线l的方程．
（2）求线段AB长．

难度：较易

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4．已知抛物线y²=2px（p＞0），焦点到准线的距离为4，过点P（1，-1）的直线交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．

难度：难

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5．已知直线y=kx-2交抛物线y²=8x于A、B两点，且AB的中点的横坐标为2，求弦AB的长．

难度：中等

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6．如图，已知直线l过点P（2，0），斜率为 $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ ，直线l和抛物线y²=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：
（1）P、M两点间的距离|PM|；
（2）线段AB的长|AB|．

难度：较易

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7．已知顶点在原点、对称轴为坐标轴且开口向右的抛物线过点M（4，-4）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求直线l的方程．

难度：中等

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8．已知直线l与抛物线y²=8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F；
（1）若已知A点的坐标为（8，8），求线段AB中点到准线的距离．
（2）求△ABO面积最小时，求直线l的方程．

难度：中等

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9．已知抛物线C：y=2x²，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
（1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程；
（2）证明：抛物线C在点N处的切线与直线AB平行；
（3）是否存在实数k使
NA
•
NB
=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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10．已知抛物线y²=-x与直线l：y=k（x+1）相交于A，B两点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当三角形OAB面积等于
10
时，求k的值．

难度：中等

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