已知动点\(C\)到点\(F\left( 1,0 \right)\)的距离比到直线\(x=-2\)的距离小\(1\)，动点\(C\)的轨迹为\(E\)．

\((1)\)求曲线\(E\)的方程；

\((2)\)若直线\(l:y=kx+m(km < 0)\)与曲线\(E\)相交于\(A\)，\(B\)两个不同点，且\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=5\)，证明：直线\(l\)经过一个定点．

己知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)，过抛物线的焦点\(F\)且垂直于\(x\)轴的直线交抛物线于不同的两点\(A\)，\(B\)，且\(|AB|=4\)．

\((1)\)求抛物线\(C\)的方程；

\((2)\)若不经过坐标原点\(O\)的直线\(l\)与抛物线\(C\)相交于不同的两点\(M\)，\(N\)，且满足\(\overrightarrow{OM}\bot \overrightarrow{ON}.\)证明直线\(l\)过\(x\)轴上一定点\(Q\)，并求出点\(Q\)的坐标．

在平面直角坐标系中，已知点\(F\left( 1,0 \right)\)，直线\(l:x=-1\)，动直线\({l}{{{'}}}\)垂直\(l\)于点\(H\)，线段\(HF\)的垂直平分线交\({l}{{{'}}}\)于点\(P\)，设点\(P\)的轨迹为\(C\) 

\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(C\)的方程；

\((\)Ⅱ\()\)以曲线\(C\)上的点\(P({{x}_{0}},{{y}_{0}})({{y}_{0}} > 0)\)为切点做曲线\(C\)的切线\({{l}_{1}}\)，设\({{l}_{1}}\)分别与\(x\)、\(y\)轴交于\(A,B\)两点，且\({{l}_{1}}\)恰与以定点\(M\left( a,0 \right)\left( a > 2 \right)\)为圆心的圆相切\(.\)当圆\(M\)的面积最小时，求\(\triangle ABF\)与\(\triangle PAM\)面积的比．

已知双曲线\(\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\left( a > 0,b > 0 \right)\)的离心率为\(\sqrt{2}\)，过左焦点\({{F}_{1}}\left( -c,0 \right)\)作圆\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{a}^{2}}\)的切线，切点为\(E\)，延长\({{F}_{1}}E\)交抛物线\({{y}^{2}}=4cx\)于点\(P\)，则线段\(PE\)的长为：

如图，等边\(\Delta OAB\)的边长为\(8 \sqrt{3}\)，且其三个顶点均在抛物线\(E:{{x}^{2}}=2py\left( p > 0 \right)\)上\(.\)

\((1)\)求抛物线\(E\)的方程；

\((2)\)设动直线\(l\)与抛物线\(E\)相切于点\(P\)，与直线\(y=-1\)相交于点\(Q\)，以\(PQ\)为直径的圆是否恒过\(y\)轴上某定点\(M\)，若存在，求出\(M\)的坐标；若不存在，请说明理由．

在直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=t\cos \alpha \\ & y=1+t\sin \alpha \end{cases}(t\)为参数\().\)以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线\(C\)的极坐标方程为\(\rho {{\sin }^{2}}\theta -2\sqrt{3}\cos \theta =0\)．

\((1)\)写出直线\(l\)的普通方程及曲线\(C\)的直角坐标方程；

\((2)\)已知点\(P(0,1)\)，点\(Q(\sqrt{3} ,0)\)，直线\(l\)过点\(Q\)且曲线\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，设线段\(AB\)的中点为\(M\)，求\(\left| PM \right|\)的值．