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          共50条信息

            • 1．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(C\)的顶点是原点，以\(x\)轴为对称轴，且经过点\(P(1,2)\)．
              \((1)\)求抛物线\(C\)的方程；
              \((2)\)设点\(A\)，\(B\)在抛物线\(C\)上，直线\(PA\)，\(PB\)分别与\(y\)轴交于点\(M\)，\(N\)，\(|PM|=|PN|.\)求证：直线\(AB\)的斜率为定值．
              难度：较易
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            • 2．
              已知抛物线\(y^{2}=4x\)截直线\(y=2x+m\)所得弦长\(AB=3 \sqrt {5}\)，
              \((1)\)求\(m\)的值；
              \((2)\)设\(P\)是\(x\)轴上的一点，且\(\triangle ABP\)的面积为\(9\)，求\(P\)的坐标．
              难度：较易
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            • 3．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆\(C_{1}\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)\)的离心率\(e= \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)，且椭圆\(C_{1}\)的短轴长为\(2\)．
              \((1)\)求椭圆\(C_{1}\)的方程；
              \((2)\)设\(A(0, \dfrac {1}{16})\)，\(N\)为抛物线\(C_{2}\)：\(y=x^{2}\)上一动点，过点\(N\)作抛物线\(C_{2}\)的切线交椭圆\(C_{1}\)于\(B\)，\(C\)两点，求\(\triangle ABC\)面积的最大值．
              难度：较易
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            • 4．
              已知抛物线\(y^{2}=-x\)与直线\(y=k(x+1)\)相交于\(A\)、\(B\)两点．
              \((1)\)求证：\(OA⊥OB\)；
              \((2)\)当\(\triangle OAB\)的面积等于\( \sqrt {10}\)时，求\(k\)的值．
              难度：较难
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            • 5．
              已知直线\(y=x-2\)与抛物线\(y^{2}=2x\)相交于\(A\)、\(B\)两点，\(O\)为坐标原点．
              \((1)\)求证：\(OA⊥OB\)．
              \((2)\)求\(|AB|\)．
              难度：较易
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            • 6．
              已知抛物线\(y^{2}= \dfrac {2}{3}x\)的焦点为\(F\)，过点\(F\)的直线交抛物线于\(A\)，\(B\)两点．
              \((1)\)若\( \overrightarrow{AF}=3 \overrightarrow{FB}\)，求直线\(AB\)的斜率；
              \((2)\)设点\(M\)在线段\(AB\)上运动，原点\(O\)关于点\(M\)的对称点为\(C\)，求四边形\(OACB\)面积的最小值．
              难度：较易
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            • 7．
              已知抛物线\(C\)的顶点在坐标原点\(O\)，对称轴为\(x\)轴，焦点为\(F\)，抛物线上一点\(A\)的横坐标为\(2\)，且\( \overrightarrow{FA}⋅ \overrightarrow{OA}=10\)．
              \((1)\)求此抛物线\(C\)的方程．
              \((2)\)过点\((4,0)\)作直线\(l\)交抛物线\(C\)于\(M\)、\(N\)两点，求证：\(OM⊥ON\)．
              难度：难
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            • 8．
              已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点为\(F\)，\(A\)为\(C\)上异于原点的任意一点，过点\(A\)的直线\(L\)交\(C\)于另一点\(B\)，交\(x\)轴的正半轴于点\(D\)，且有\(|FA|=|FD|\)，当点\(A\)的横坐标为\(3\)时，\(\triangle ADF\)为正三角形．
              \((1)\)求\(C\)的方程
              \((2)\)若直线\(L_{1}\)平行\(L\)，且\(L_{1}\)和\(C\)有且只有一个公共点\(E\)，证明直线\(AE\)恒过定点\(‚\)求\(\triangle ABE\)的面积最小值．
              难度：较易
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            • 9．
              已知抛物线\(Γ\)：\(y^{2}=2px\)上一点\(M(3,m)\)到焦点的距离为\(4\)，动直线\(y=kx(k\neq 0)\)交抛物线\(Γ\)于坐标原点\(O\)和点\(A\)，交抛物线\(Γ\)的准线于点\(B\)，若动点\(P\)满足\( \overrightarrow{OP}= \overrightarrow{BA}\)，动点\(P\)的轨迹\(C\)的方程为\(F(x,y)=0\)；
              \((1)\)求出抛物线\(Γ\)的标准方程；
              \((2)\)求动点\(P\)的轨迹方程\(F(x,y)=0\)；\((\)不用指明范围\()\)
              \((3)\)以下给出曲线\(C\)的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：\(①\)对称性；\(②\)图形范围；\(③\)渐近线；\(④y > 0\)时，写出由\(F(x,y)=0\)确定的函数\(y=f(x)\)的单调区间，不需证明．
              难度：较易
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            • 10．
              已知抛物线\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点为\(F\)，点\(P\)是抛物线上横坐标为\(3\)的点，且\(P\)到抛物线焦点\(F\)的距离等于\(4\)．
              \((1)\)求抛物线的方程；
              \((2)\)过抛物线的焦点\(F\)作互相垂直的两条直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)，\(l_{1}\)与抛物线交于\(A\)、\(B\)两点，\(l_{2}\)与抛物线交于\(C\)、\(D\)两点，\(M\)、\(N\)分别是线段\(AB\)、\(CD\)的中点，求\(\triangle FMN\)面积的最小值．
              难度：较易
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