知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知P为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左支上一点，F₁，F₂分别是它的左右焦点，直线PF₂与圆：x²+y²=a²相切，切点为线段PF₂的中点，则该双曲线的离心率为．

难度：中等

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2．已知A，B为双曲线C：x²-
y2
2
=1上的两点，若以线段AB为直径的圆通过坐标原点O，则△AOB面积的最小值为．

难度：较难

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3．如图，点A（-1，0）、B（1，0），点C在x轴正半轴上，过线段BC的n等分点D_i作与BC垂直的射线l_i，在l_i上的动点P使∠APB取得最大值的位置记作P_i（i=1，2，3，…，n-1）．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数n≥2，点P_i（i=1，2，…，n-1）都在这条曲线上？说明理由．

难度：中等

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4．已知曲线C₁：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）和曲线C₂：
x2
5
+
y2
3
=1有相同的焦点，曲线C₁的离心率是曲线C₂的离心率的
5
倍．
（Ⅰ）求曲线C₁的方程；
（Ⅱ）设点A是曲线C₁的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C₁的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=
2
2
，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．

难度：中等

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5．（2015秋•武威校级期末）已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，过左焦点F₁作倾斜角为30°的直线l，交双曲线于A，B两点，F₂为双曲线的右焦点，且AF₂⊥x轴，如图．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）若|AB|=16，求双曲线的标准方程．

难度：较难

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6．（1）一光线经点P（5，3）被直线l：y=3x+3反射，若反射光线经过点Q（1，1），求入射光线所在直线方程．
（2）已知正方形ABCD一边AB的方程 x+2y+3=0和中心P（1，1），求边BC和AD的方程．
（3）已知椭圆
x2
3m2
+
y2
5n2
=1和双曲线
x2
2m2
-
y2
3n2
=1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程．

难度：较难

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7．已知在平面内点P满足|PM|-|PN|=2
2
，M（-2，0），N（ 2，0 ），O（0，0）
（1）求点P的轨迹S；
（2）（理）直线过点（2，0）与S交于点A，B，求△OAB的面积的最小值．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，（a，b，c∈R）的一个零点为x=1，另外两个零点分别可作为椭圆和双曲线的离心率，则
b
a
的取值范围是．

难度：较难

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9．已知直线y=kx-1与双曲线x²-y²=4，试讨论实数k的取值范围，使直线与双曲线
（1）没有公共点
（2）有两个公共点
（3）只有一个公共点
（4）交于异支两点
（5）交于右支两点．

难度：中等

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10．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率
6
2
．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）若它的一个顶点到较近焦点的距离为
3
-
2
，求双曲线的标准方程．

难度：较易

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