知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知双曲线C经过点（2，3），它的渐近线方程为y=±
3
x，椭圆C₁与双曲线C有相同的焦点，椭圆C₁的短轴长与双曲线C的实轴长相等．
（1）求双曲线C和椭圆C₁的方程；
（2）经过椭圆C₁左焦点F的直线l与椭圆C₁交于A、B两点，是否存在定点D，使得无论AB怎样运动，都有∠ADF=∠BDF；若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．已知命题p：方程 $\text{[math]}$ =1表示双曲线，命题q：x∈（0，+∞），x²﹣mx+4≥0恒成立，若p∨q是真命题，且綈（p∧q）也是真命题，求m的取值范围．

难度：中等

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3．已知双曲线C₁： $\text{[math]}$ =1，（a＞0，b＞0）的焦距是实轴长的2倍，若抛物线C₂：x²=2py，（p＞0）的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为2，求抛物线C₂的标准方程．

难度：中等

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4．双曲线与椭圆4x²+y²=64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，求双曲线方程．

难度：中等

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5．已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为 $\text{[math]}$ ，另一双曲线与椭圆有公共焦点，且椭圆半长轴比双曲线的半实轴大4，椭圆离心率与双曲线的离心率之比为3：7，求椭圆方程和双曲线方程．

难度：中等

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6．（1）已知双曲线的焦点在y轴，实轴长与虚轴长之比为2：3，且经过P（
6
，2），求双曲线方程．
（2）已知焦点在x轴上，离心率为
5
3
，且经过点M（-3，2
3
）的双曲线方程．

难度：中等

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7．设p：“方程x²+y²=4-a表示圆”，q：“方程
x2
4
-
y2
a+1
=1表示焦点在x轴上的双曲线”，如果p和q都正确，求实数a的取值范围．

难度：较易

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8．对于双曲线C_（a，b）：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0），若点P（x₀，y₀）满足
x
2
0
a2
-
y
2
0
b2
＜1，则称P在C_（a，b）的外部，若点P（x₀，y₀）满足
x
2
0
a2
-
y
2
0
b2
＞1，则称C_（a，b）在的内部；
（1）若直线y=kx+1上的点都在C_（1，1）的外部，求k的取值范围；
（2）若C_（a，b）过点（2，1），圆x²+y²=r²（r＞0）在C_（a，b）内部及C_（a，b）上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；
（3）若曲线|xy|=mx²+1（m＞0）上的点都在C_（a，b）的外部，求m的取值范围．

难度：中等

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9．已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点．
（i）无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．
（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．

难度：较难

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