知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知双曲线\(C: \dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}- \dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1 \left(a > 0,b > 0\right) \)的离心率为\(\sqrt{5} \)，虚轴长为\(4\)．

\((1)\)求双曲线的标准方程；

\((2)\)过点\(\left(0,1\right) \)，倾斜角为\(45^{\circ} \)的直线\(l\)与双曲线\(C\)相交于\(A\)、\(B\)两点，\(0\)为坐标原点，求\(∆OAB \)的面积．

难度：较难

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2．
已知双曲线\(C： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0．b > 0)\)与椭圆\( \dfrac {x^{2}}{18}+ \dfrac {y^{2}}{14}=1\)有共同的焦点，点\(A(3, \sqrt {7})\)在双曲线\(C\)上．
\((1)\)求双曲线\(C\)的方程；
\((2)\)以\(P(1,2)\)为中点作双曲线\(C\)的一条弦\(AB\)，求弦\(AB\)所在直线的方程．

难度：中等

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3．
在直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(C\)的顶点是双曲线\(D\)：\( \dfrac {y^{2}}{2}-x^{2}= \dfrac {1}{3}\)的中心，抛物线\(C\)的焦点与双曲线\(D\)的焦点相同．
\((1)\)求抛物线\(C\)的方程；
\((2)\)若点\(P(t,1)(t > 0)\)为抛物线\(C\)上的定点，\(A\)，\(B\)为抛物线\(C\)上两个动点\(.\)且\(PA⊥PB\)，问直线\(AB\)是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由．

难度：较易

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4．
已知命题\(p\)：方程\( \dfrac {x^{2}}{2m}- \dfrac {y^{2}}{m-1}=1\)表示焦点在\(y\)轴上的椭圆；命题\(q\)：双曲线\( \dfrac {y^{2}}{5}- \dfrac {x^{2}}{m}=1\)的离心率\(e∈(1,2).\)若命题\(p\)、\(q\)有且只有一个为真，求\(m\)的取值范围．

难度：中等

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5．
已知双曲线\(C\)的方程为：\( \dfrac {x^{2}}{9}- \dfrac {y^{2}}{16}=1\)
\((1)\)求双曲线\(C\)的离心率；
\((2)\)求与双曲线\(C\)有公共的渐近线，且经过点\(A(-3,2 \sqrt {3})\)的双曲线的方程．

难度：较易

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6．
已知双曲线\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)，\(A_{1}\)、\(A_{2}\)是双曲线的左右顶点，\(M(x_{0},y_{0})\)是双曲线上除两顶点外的一点，直线\(MA_{1}\)与直线\(MA_{2}\)的斜率之积是\( \dfrac {144}{25}\)，
\((1)\)求双曲线的离心率；
\((2)\)若该双曲线的焦点到渐近线的距离是\(12\)，求双曲线的方程．

难度：中等

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7．
已知双曲线与椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1\)有共同的焦点，且过点\((2,\sqrt{6})\)

\((1)\)求双曲线的标准方程；

\((2)\) 过点\(P(1,1)\)能否作一条直线\(l\)，与双曲线交于\(A\)、\(B\)两点，且点\(P\)是线段\(AB\)的中点？若能，请求出直线方程；若不能，请说明理由．

难度：中等

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8．
\((1)\)已知斜率为\(1\)的直线\(l\)过椭圆\( \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\)的右焦点\(F\)交椭圆于\(A\)、\(B\)两点，求弦\(AB\)的长．

\((2)\)求与双曲线\( \dfrac{x^{2}}{9}\)\(-\)\( \dfrac{y^{2}}{16}\)\(=1\)有共同的渐近线，且过点\((-3,2\)\( \sqrt{3}\)\()\)的双曲线方程．

难度：中等

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9．
\((1)\)已知斜率为\(1\)的直线\(l\)过椭圆\( \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1\)的右焦点\(F\)交椭圆于\(A\)、\(B\)两点，求弦\(AB\)的长．

\((2)\)求与双曲线\( \dfrac{x^{2}}{9}\)\(-\)\( \dfrac{y^{2}}{16}\)\(=1\)有共同的渐近线，且过点\((-3,2\)\( \sqrt{3}\)\()\)的双曲线方程．

难度：中等

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10．
填空题：

\((1)\)有下列命题

\(①\)命题“\(∃ x∈R\)，使得\({{x}^{2}}+1 > 3x\)”的否定是“\(∀ x∈R\)，都有\({{x}^{2}}+1 < 3x\)”；

\(②\)设\(p\)、\(q\)为简单命题，若“\(p∨q\)”为假命题，则“\(¬ p∧¬ q\)为真命题”；

\(③\)“\(a > 2\)”是“\(a > 5\)”的充分不必要条件；

\(④\)若函数\(f(x)=(x+1)(x+a)\)为偶函数，则\(a=-1\)；

其中所有正确的说法序号是_______ ．

\((2)\)某种产品的广告费支出\(x(\)单位：百万元\()\)与销售额\(y(\)单位：百万元\()\)之间有如下对应数据：由表中数据可得线性回归方程为\(\hat{y}=6.5x+\hat{a}\)，当广告费支出为\(700\)万元时预测销售额约为______\(.(\)写单位\()\)

\((3)\)已知\(\{{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},......{{x}_{n}}\}\)的平均数为\(a\)，标准差是\(b\)，则\(3{{x}_{1}}+2,{ }3{{x}_{2}}+2,{ }...,{ }3{{x}_{n}}+2\)的平均数是_____。标准差是________．

\((4)\)设\({F}_{1}、{F}_{2} \)分别为双曲线\(C:{{{x}}^{2}}-\dfrac{{{y}^{2}}}{24}=1\)的左、右焦点，\(P\)为双曲丝\(C\)在第一象限上的一点，若\(\dfrac{|P{{F}_{1}}|}{|P{{F}_{2}}|}=\dfrac{4}{3}\)，则\(\triangle P{{F}_{1}}{{F}_{2}}\)内切圆的面积为

难度：难

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