知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知双曲线C：
x2
9
-
y2
16
=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为C的右支上一点，且|
PF2
|=|
F1F2
|，则△PF1F2的面积等于．

难度：中等

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2．已知双曲线的顶点在x轴上，两个顶点之间的距离为8，离心率e=
5
4

（1）求双曲线的标准方程；
（2）求双曲线的焦点到其渐近线的距离．

难度：中等

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3．已知椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的两条渐近线为l₁、l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B．（如图）
（1）当l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；
（2）当
FA
=λ
AP
时，求λ的最大值．

难度：较易

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4．已知双曲线x²-
y2
3
=1的左顶点为A₁，右焦点为F₂，P为双曲线右支上一点，则
PA1
•
PF2
最小值为．

难度：较难

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5．飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30°，相距4km，P为航天员着陆点，某一时刻A接到P的求救信号，由于B、C两地比A距P远，因此4s后，B、C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s．
（1）求A、C两个救援中心的距离；
（2）求在A处发现P的方向角；
（3）若信号从P点的正上方Q点处发出，则A、B收到信号的时间差变大还是变小，并证明你的结论．

难度：较难

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6．已知点A(-
3
，0)和B(
3
，0)，动点C与A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长．

难度：中等

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7．过定点A（1，1）作直线l与双曲线x²-
y2
2
=1交于P、Q两点，若A（1，1）是线段段PQ的中点，这样的直线存在吗？

难度：中等

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8．若点P（m，n）与点P′（m′，n′）满足m′=n，n′=m，则称P′为P的“反变换对称点”，如点（1，2）的“反变换对称点”为点（2，1），已知三点M（3
2
，4），F₁（-5，0），F₂（5，0）
（1）求以F₁、F₂为焦点，且过点M的双曲线C₁的标准方程；
（2）设M′、F₁′和F₂′分别为M、F₁和F₂的“反变换对称点”，求以F₁′、F₂′为焦点，且过点M′的椭圆C₂的标准方程．

难度：中等

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9．相距1400m的A、B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆点在怎样的曲线上，为什么？

难度：较易

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10．双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的中心、右焦点、右顶点、右准线与x轴的交点，依次为O、F、A、H，当|HF|≥
3
2
|AF|时，
|HF|
|OA|
的最大值为．

难度：中等

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