知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．抛物线y=ax²的焦点为F（0，1），P为该抛物线上的动点，则a= ；线段FP中点M的轨迹方程为．

难度：中等

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2．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)经过点(2，
3
)，且离心率为
3
2
．椭圆上还有两点P、Q，O为坐标原点，连接OP、OQ，其斜率的积为-
1
4
．
（1）求椭圆方程；
（2）求证：|OP|²+|OQ|²为定值，并求出此定值；
（3）求PQ中点的轨迹方程．

难度：较难

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3．已知F是抛物线y²=4x上的焦点，P是抛物线上的一个动点，若动点M满足
FP
=2
FM
，则M的轨迹方程是．

难度：中等

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4．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C上任意一点到点M（0，
1
2
）的距离与到直线y=-
1
2
的距离相等．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设A₁（x₁，0），A₂（x₂，0）是x轴上的两点（x₁+x₂≠0，x₁x₂≠0），过点A₁，A₂分别作x轴的垂线，与曲线C分别交于点A₁′，A₂′，直线A₁′A₂′与x轴交于点A₃（x₃，0），这样就称x₁，x₂确定了x₃．同样，可由x₂，x₃确定了x₄．现已知x₁=6，x₂=2，求x₄的值．

难度：中等

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5．已知不过坐标原点O的直线L与抛物线y²=2x相交于A、B两点，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求证：直线L过定点；
②求点E的轨迹方程．

难度：中等

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6．若一动点P到两定点A(0，
3
)、B(0，-
3
)的距离之和为4．
（ I）求动点P的轨迹方程；
（ II）设动点P的轨迹为曲线C，在曲线C任取一点Q，过点Q作x轴的垂线段QD，D为垂足，当Q在曲线C上运动时，求线段QD的中点M的轨迹方程．

难度：中等

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7．已知F₁，F₂是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点，点P（a，b），若△F₁PF₂为等腰三角形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF₂上的动点，满足
AM
•
BM
=-2，求点M的轨迹方程．

难度：中等

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8．如图，已知定点F（-1，0），N（1，0），以线段FN为对角线作周长是4
2
的平行四边形MNEF．平面上的动点G满足|
GO
|=2（O为坐标原点）
（I）求点E、M所在曲线C₁的方程及动点G的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）已知过点F的直线l交曲线C₁于点P、Q，交轨迹C₂于点A、B，若|
AB
|∈（2
3
，
15
），求△NPQ内切圆的半径的取值范围．

难度：较难

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9． △ABC的一边的两个端点是B（0，6）和C（0，-6），另两边的斜率乘积是
4
9
，则顶点A的轨迹方程是．

难度：中等

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