知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知
a
=（1，2，3），
b
=（1，0，1），
c
=
a
-2
b
，
d
=m
a
-
b
，求实数m的值，使得
（1）
c
⊥
d
；
（2）
c
∥
d
．

难度：较易

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2．已知向量
a
=（0，-1，1），
b
=（2，2，1），计算：
（1）|2
a
-
b
|；
（2）cos＜
a
，
b
＞；
（3）2
a
-
b
在
a
上的投影．

难度：较易

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3．已知空间向量
a
=（a₁，a₂，a₃），
b
=（b₁，b₂，b₃），定义两个空间向量
a
与
b
之间的距离为d（
a
，
b
）=
3
i=1
|b_i-a_i|．
（1）若
a
=（1，2，3），
b
=（4，1，1），
c
=（
11
2
，
1
2
，0），证明：d（
a
，
b
）+d（
b
，
c
）=d（
a
，
c
）
（2）已知
c
=（c₁，c₂，c₃）
①证明：若∃λ＞0，使
b
-
a
=λ（
c
-
b
），则d（
a
，
b
）+d（
a
，
c
）=d（
a
，
c
）．
②若d（
a
，
b
）+d（
b
，
c
）=d（
a
，
c
），是否一定∃λ＞0，使
b
-
a
=λ（
c
-
b
）？请说明理由．

难度：中等

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4．（1）如图，边长为2正方体ABCD-A′B′C′D′中，假设存在一点E为AC₁的中点，在给定的空间直角坐标系D-xyz下，试写出E点的坐标．
（2）有两点A（1，-2，1），B（2，2，2），求A、B两点间的距离．

难度：较易

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5．（1）如图所示，在边长为2的正方体OABC-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁交B₁D₁于P．分别写出O、A、B、C、A₁、B₁、C₁、D₁、P的坐标．
（2）在空间直角坐标系中，A（2，3，5）、B（4，1，3），求A，B的中点P的坐标及A，B间的距离|AB|．

难度：较易

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6．已知
a
=（1，1，0），
b
=（0，1，1），
c
=（1，0，1），
p
=
a
-
b
，
q
=
a
+2
b
-
c
，求
p
，
q
，
p
•
q
．

难度：较易

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7．如图，已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，M为A₁C₁与B₁D₁的交点，化简下列向量表达式：
（1）
AA1
+
A1B1
；
（2）
1
2
A1B1
+
1
2
A 1D1
；
（3）
AA1
+
1
2
A1B1
+
1
2
A1D1
；
（4）
AB
+
BC
+
CC1
+
C1A1
+
A1A
．

难度：较易

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8．已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是（2，-1，2），（4，5，-1），（-2，2，3），求点P坐标．使：
（1）
OP
=
1
2
（
AB
-
AC
）；
（2）
AP
=
1
2
（
AB
-
AC
）

难度：较易

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9．已知A（3，5，-7），B（-2，4，3），求向量
AB
，向量
BA
，线段AB的中点坐标及线段AB的长．

难度：较易

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10．已知点A（1，2，1），B（-1，3，4），D（1，1，1），若
AB
=2
PB
，求
PD
．

难度：较易

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