知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知
a
=（1，2，3），
b
=（1，0，1），
c
=
a
-2
b
，
d
=m
a
-
b
，求实数m的值，使得
（1）
c
⊥
d
；
（2）
c
∥
d
．

难度：较易

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2．已知向量
a
=（0，-1，1），
b
=（2，2，1），计算：
（1）|2
a
-
b
|；
（2）cos＜
a
，
b
＞；
（3）2
a
-
b
在
a
上的投影．

难度：较易

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3．已知空间向量
a
=（a₁，a₂，a₃），
b
=（b₁，b₂，b₃），定义两个空间向量
a
与
b
之间的距离为d（
a
，
b
）=
3
i=1
|b_i-a_i|．
（1）若
a
=（1，2，3），
b
=（4，1，1），
c
=（
11
2
，
1
2
，0），证明：d（
a
，
b
）+d（
b
，
c
）=d（
a
，
c
）
（2）已知
c
=（c₁，c₂，c₃）
①证明：若∃λ＞0，使
b
-
a
=λ（
c
-
b
），则d（
a
，
b
）+d（
a
，
c
）=d（
a
，
c
）．
②若d（
a
，
b
）+d（
b
，
c
）=d（
a
，
c
），是否一定∃λ＞0，使
b
-
a
=λ（
c
-
b
）？请说明理由．

难度：中等

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4．（1）如图，边长为2正方体ABCD-A′B′C′D′中，假设存在一点E为AC₁的中点，在给定的空间直角坐标系D-xyz下，试写出E点的坐标．
（2）有两点A（1，-2，1），B（2，2，2），求A、B两点间的距离．

难度：较易

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5．（1）如图所示，在边长为2的正方体OABC-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁交B₁D₁于P．分别写出O、A、B、C、A₁、B₁、C₁、D₁、P的坐标．
（2）在空间直角坐标系中，A（2，3，5）、B（4，1，3），求A，B的中点P的坐标及A，B间的距离|AB|．

难度：较易

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6．如图，BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（
3
2
，
1
2
，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（1）求向量
OD
的坐标
（2）求向量
AD
和
BC
的夹角的大小．

难度：中等

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7．已知，，
（1）计算，及；
（2）求实数x，y的值，使．

难度：中等

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8．已知
a
=(3，5，-4)，
b
=(2，1，8)，
c
=(0，0，1)
（1）计算3
a
-2
b
，及
a
•
b
；
（2）求实数λ的值，使λ
a
+2
b
与
c
垂直．

难度：较易

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9．已知
a
=(3，5，-4)，
b
=(2，1，8)，
c
=(x，y，3)
（1）计算3
a
-2
b
，及
a
•
b
；
（2）求实数x，y的值，使(
a
-
b
)∥
c
．

难度：较易

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