知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面四边形ACBD（图①）中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB=2，∠BAD=30°，∠BAC=45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′-ABC．
（Ⅰ）当C′D=
2
时，求证：平面C′AB⊥平面DAB；
（Ⅱ）当AC′⊥BD时，求三棱锥C′-ABD的高．

难度：中等

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2．如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD中，∠A=90°，AB∥CD，AB=1，AD=CD=2．
（Ⅰ）若二面角P-CD-B为45°，求证：平面BPC⊥平面DPC；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点A到平面PBC的距离．

难度：中等

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3．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，A₁A=1，
（1）求证：直线BC₁∥平面D₁AC；
（2）求直线BC₁到平面D₁AC的距离．

难度：中等

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4．如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=SA=SC，M为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求点B到平面SCM的距离．

难度：中等

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5．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2PD=4，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）求三棱锥D-PBC的高．

难度：中等

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6．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC=60°，PA=AC=2，AB=1，点E在棱PC上，且DE⊥PB．
（Ⅰ）求CE的长；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的正弦值．

难度：中等

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7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求证：AA₁⊥平面ABC；
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（3）求点C到平面A₁BC₁的距离．

难度：中等

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8．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=BC=2，∠CBA=∠PBC=60°，Q为线段BC的中点．
（1）求证：PA⊥BC；
（2）求点Q到平面PAC的距离．

难度：中等

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9．已知四面体各面都是边长为13，14，15的全等三角形．
（1）求此三棱锥的体积；
（2）求顶点D到底面的距离．

难度：中等

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10．如图所示，在四棱锥A-BCDE中，AE⊥面EBCD且四边形EBCD是菱形，∠BED=120°，AE=BE=2，F是BC上的动点．
（1）当F是BC的中点时，求证：平面AEF⊥平面ABC；
（2）当点F在由B向C移动的过程中能否存在一个位置使得二面角A-FD-E的余弦值是
3
10
，若存在，求出BF的长，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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