知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．四棱锥P-ABCD中底面ABCD是菱形，PA=PC，AC与BD交于点O．
（1）求证：PB⊥AC；
（2）若平面PAC⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PB=AB=2，求点O到平面PBC的距离．

难度：中等

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2．（2016•平顶山二模）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧SBC是正三角形，点E是SB的中点，且AE⊥平面SBC．
（1）证明：SD∥平面ACE；
（2）若AB⊥AS，BC=2，求点S到平面ABC的距离．

难度：中等

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3．（2016春•商洛校级月考）如图：正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（1）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（2）求点C到平面AB₁D的距离．
（3）求二面角B-AB₁-D的大小．

难度：中等

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4．在平面四边形ACBD（图①）中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB=2，∠BAD=30°，∠BAC=45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′-ABC．
（Ⅰ）当C′D=
2
时，求证：平面C′AB⊥平面DAB；
（Ⅱ）当AC′⊥BD时，求三棱锥C′-ABD的高．

难度：中等

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5．如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD中，∠A=90°，AB∥CD，AB=1，AD=CD=2．
（Ⅰ）若二面角P-CD-B为45°，求证：平面BPC⊥平面DPC；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点A到平面PBC的距离．

难度：中等

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6．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，A₁A=1，
（1）求证：直线BC₁∥平面D₁AC；
（2）求直线BC₁到平面D₁AC的距离．

难度：中等

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7．如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=SA=SC，M为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求点B到平面SCM的距离．

难度：中等

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8．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2PD=4，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）求三棱锥D-PBC的高．

难度：中等

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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC=60°，PA=AC=2，AB=1，点E在棱PC上，且DE⊥PB．
（Ⅰ）求CE的长；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的正弦值．

难度：中等

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10．如图1在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E分别是AC，BC边上的中点，M为CD的中点，现将△CDE沿DE折起，使点A在平面CDE内的射影恰好为M．
（I）求AM的长；
（Ⅱ）求面DCE与面BCE夹角的余弦值．

难度：中等

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