知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在几何体P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PAB，四边形ABCD为矩形，△PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E，F 分别为AC，BP中点．
（Ⅰ）求证EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求直线DP与平面ABCD所成角的正弦值．

难度：较易

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2．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD，点M在AB上，且AM：MB=1：2，E为PB的中点．
（1）求证：CE∥平面ADP；
（2）求证：平面PAD⊥平面PAB；
（3）棱AP上是否存在一点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出 $%20%5Cfrac%20%7BAN%7D%7BNP%7D$ 的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD， $AB%3DAD%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7DCD%3D2$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7BEM%7D%3D%CE%BB%20%5Coverrightarrow%20%7BEC%7D%280%EF%BC%9C%CE%BB%EF%BC%9C1%29$ ．
（1）当 $%CE%BB%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 时，求证：BM∥平面ADEF；
（2）若平面BDM与平面ABF所成锐角二面角的余弦值为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B38%7D%7D$ 时，求λ的值．

难度：较易

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4．如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥面ADC₁；
（2）求直线B₁C₁与平面ADC₁所成角的余弦值．

难度：较易

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5．如图所示，四边形ABCD为空间四边形．
（1）已知点E，F分别为边AC，BC的中点，求证：EF∥平面ABD．
（2）已知平行四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面．
求证：AB∥平面EFGH．

难度：较易

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6．已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．
（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；
（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B21%7D%7D%7B5%7D$ ？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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7．一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M、N分别是AF、BC的中点，
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求点B到平面MNF的距离．

难度：较易

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8．如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，E是BC中点，CB=CD，AB=AD．求证：
（1）BD⊥AC
（2）OE∥平面ADC．

难度：较易

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9．如图为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的平面展开图，其中E、M、N分别为A₁D₁、BC、CC₁的中点，
（Ⅰ）作出该正方体的直观图；
（Ⅱ）求证：MN∥平面BEC₁．

难度：较易

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10．如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面AC，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：PB⊥平面EFD．

难度：较易

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