知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若点M在线段AP的延长线上且P为MA的中点，PA=1，AD=2，求二面角
B-ED-M的余弦值．

难度：中等

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2．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（1）求证：AA₁⊥平面ABC；
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（3）求点C到平面A₁BC₁的距离．

难度：中等

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3．已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，AD=1，SA=AB=BC=2．
（Ⅰ）求异面直线AB与SC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求直线SA与平面SCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-SD-C的余弦值．

难度：较难

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4．在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=
2
，点E在棱PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角P-AE-C的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F，使得BF∥平面AEC？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，D，E分别为AC，BD的中点，连接AE并延长BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2，所示，
（1）求证：AE⊥平面BCD；
（2）求平面AEF与平面ADC所成的锐角二面角的余弦值；
（3）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指出点M的位置；若存在，请指出点M的位置；若不存在，说明理由．

难度：中等

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6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，PA=PD=2，BC=
1
2
AD=1，CD=
3
．
（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）在棱PC上是否存在一点M，使二面角M-BQ-C为30°，若存在，确定M的位置，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱AB上的动点，设λ=
AE
AB

（1）求证：DA₁⊥ED₁
（2）若直线DA₁与平面CED₁所成角为30°，求λ的值
（3）当点E在棱AB上移动时，是否存在某个确定的位置使得平面A₁DCB₁与平面CED₁所成二面角为60°，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．如图，在四面体A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2
2
．M是AD的中点，P是BM的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABC⊥平面ADC；
（Ⅱ）若点Q在线段AC上，且满足AQ=3QC，求证：PQ∥平面BCD；
（Ⅲ）若∠BDC=60°，求二面角C-BM-D的大小．

难度：中等

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9．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，D，E分别为BB₁，AC₁的中点．
（1）证明：DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）设AA₁=AC=
2
AB，求二面角A₁-AD-C₁的大小．

难度：中等

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10．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁，直线B₁C与平面ABC成30°角．
（I）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-B₁C-A的大小．

难度：较难

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