知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．
（Ⅰ）求证：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求点C到平面AMN的距离．

难度：中等

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2．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥平面BCC₁B₁，∠BCC1=
π
3
，AB=BB1=2，BC=1，D为CC₁的中点．
（1）求证：DB₁⊥平面ABD；
（2）求点A₁到平面ADB₁的距离．

难度：中等

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3．已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点．
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD
（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为
6
2
，当F是PC中点时，求二面角C-AF-E的余弦值．

难度：中等

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4．（2016•三亚校级模拟）如图，三棱柱ABC-A₁BC₁的底面是边长为2的正三角形，侧棱A₁A⊥底面ABC，D为A₁A的中点．
（Ⅰ）求证：平面B₁DC⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若∠B₁DC=90°，求点A到平面B₁DC的距离．

难度：中等

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5．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA₁=6，点M时BB₁中点．
（1）求证；平面A₁MC⊥平面AA₁C₁C；
（2）求点A到平面A₁MC的距离．

难度：中等

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6．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=
π
3
，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM．
（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）若AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离．

难度：中等

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7．（2015•合肥模拟）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=
π
3
．
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）点B₁到平面ACC₁A₁的距离为d₁，点A₁到平面ABC₁的距离为d₂，求
d1
d2
．

难度：中等

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8．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是
CC₁、BC的中点，点P在A₁B₁上，且满足
.
A1P
=λ
.
A1B1
（λ∈R）．
（1）证明：PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；
（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

难度：中等

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9．如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA′₁分别交BB₁，CC₁于点P、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A′₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，请在图2中解决下列问题：
（1）求证：AB⊥PQ；
（2）在底边AC上有一点M，满足AM；MC=3：4，求证：BM∥平面APQ．
（3）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值．

难度：中等

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10．正方体AC₁中，E、F分别是线段C₁D、BC的中点，则直线A₁B与直线EF的位置关系是．

难度：中等

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