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          共50条信息

            • 1．
              在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知向量\( \overrightarrow{m}=( \dfrac { \sqrt {2}}{2},- \dfrac { \sqrt {2}}{2})\)，\( \overrightarrow{n}=(\sin x,\cos x)\)，\(x∈(0, \dfrac {π}{2})\)．
              \((1)\)若\( \overrightarrow{m}⊥ \overrightarrow{n}\)，求\(\tan x\)的值；
              \((2)\)若\( \overrightarrow{m}\)与\( \overrightarrow{n}\)的夹角为\( \dfrac {π}{3}\)，求\(x\)的值．
              难度：较易
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            • 2．
              已知向量\( \overrightarrow{a}=(\sin θ,1), \overrightarrow{b}=(1,\cos θ),- \dfrac {π}{2} < θ < \dfrac {π}{2}\)．
              \((1)\)若\( \overrightarrow{a}⊥ \overrightarrow{b}\)，求\(\tan θ\)的值；
              \((2)\)求\(| \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b}|\)的最大值．
              难度：难
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            • 3．
              设向量\( \overrightarrow{a}=(λ+2,λ^{2}- \sqrt {3}\cos 2α)\)，\( \overrightarrow{b}=(m, \dfrac {m}{2}+\sin α\cos α)\)其中\(λ\)，\(m\)，\(α\)为实数．
              \((\)Ⅰ\()\)若\(α= \dfrac {π}{12}\)，且\( \overrightarrow{a}⊥ \overrightarrow{b}\)，求\(m\)的取值范围；
              \((\)Ⅱ\()\)若\( \overrightarrow{a}=2 \overrightarrow{b}\)，求\( \dfrac {λ}{m}\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 4．
              设向量\( \overrightarrow{a}=(\sin x, \sqrt {3}\cos x), \overrightarrow{b}=(-1,1), \overrightarrow{c}=(1,1).(\)其中\(x∈[0,π])\)
              \((1)\)若\(( \overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b})/\!/ \overrightarrow{c}\)，求实数\(x\)的值；
              \((2)\)若\( \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}= \dfrac {1}{2}\)，求函数\(\sin (x+ \dfrac {π}{6})\)的值．
              难度：较易
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            • 5．
              已知向量\( \overrightarrow{a}=(\cos x+\sin x,1)\)，\( \overrightarrow{b}=(\cos x+\sin x,-1)\)函数\(g(x)=4 \overrightarrow{a}⋅ \overrightarrow{b}\)．
              \((1)\)求函数\(g(x)\)在\([ \dfrac {π}{12}, \dfrac {π}{3}]\)上的值域；
              \((2)\)若\(x∈[0,2016π]\)，求满足\(g(x)=0\)的实数\(x\)的个数；
              \((3)\)求证：对任意\(λ > 0\)，都存在\(μ > 0\)，使\(g(x)+x-4 < 0\)对\(x∈(-∞,λμ)\)恒成立．
              难度：较易
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            • 6．
              如图，在平面直角坐标系中，锐角\(α\)，\(β\)的终边分别与单位圆交于\(AB\)两点．
              \((\)Ⅰ\()\)如果\(\sin α= \dfrac {3}{5}\)，点\(B\)的横坐标为\( \dfrac {5}{13}\)，求\(\cos (α+β)\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)已知点\(C(2 \sqrt {3},-2)\)，求函数\(f(α)= \overrightarrow{OA}⋅ \overrightarrow{OC}\)的值域．
              难度：较易
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            • 7．

              圆\(O\)上两点\(C\)，\(D\)在直径\(AB\)的两侧\((\)如图甲\()\)，沿直径\(AB\)将圆\(O\)折起形成一个二面角\((\)如图乙\()\)，若\(∠DOB\)的平分线交弧\(\overline {BD} \)于点\(G\)，交弦\(BD\)于点\(E\)，\(F\)为线段\(BC\)的中点．

              \((\)Ⅰ\()\)证明：平面\(OGF/\!/\)平面\(CAD\)；\((\)Ⅱ\()\)若二面角\(C-AB-D\)为直二面角，且\(AB=2\)，\(∠CAB=45^{\circ}\)，\(∠DAB=60^{\circ}\)，求直线\(FG\)与平面\(BCD\)所成角的正弦值．

              难度：较易
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            • 8．

              已知向量\( \overrightarrow{a}=m \overrightarrow{i}+5 \overrightarrow{j}- \overrightarrow{k}, \overrightarrow{b}=3 \overrightarrow{i}+ \overrightarrow{j}+r \overrightarrow{k} \)，若\( \overrightarrow{a} /\!/ \overrightarrow{b} \)则实数\(m\)\(= \)______，\(r\)\(= \)______．

              难度：易
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            • 9．

              已知空间三点\(A(0,2,3)\)，\(B(-2,1,6)\)，\(C(1,-1,5)\)，

              \((1)\)求以向量\(\overset{\to }{{AB}}\,,\overset{\to }{{AC}}\,\)为一组邻边的平行四边形的面积\(S\)．

              \((2)\)若向量\(\overset{\to }{{a}}\,\)分别与向量\(\overset{\to }{{AB}}\,,\overset{\to }{{AC}}\,\)垂直，且\(|\overset{\to }{{a}}\,|=\sqrt{3}\) ，求向量\(\overset{\to }{{a}}\,\)的坐标．

              难度：难
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            • 10．

              如图\((1)\)，在直角梯形\(ABCD\)中，\(O\)为\(BD\)的中点，\(AD\)\(/\!/\)\(BC\)，，，把沿翻折如图\((2)\)，使得平面．

              \((1)\)求证：；

              \((2)\)在线段上是否存在点\(N\)，使得与平面所成角为\({{30}^{\circ }}\)？若存在，求出\( \dfrac{BN}{BC} \)的值；若不存在，说明理由．

              难度：较易
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