如图，在长方体\(ABCD-A\)\(1\)\(B\)\(1\)\(C\)\(1\)\(D\)\(1\)中，\(O\)为\(AC\)的中点，设\(E\)是棱\(DD_{1}\)上的点，且\(\overrightarrow{DE}= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{DD_{1}}\)，若\(\overrightarrow{EO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+z\overrightarrow{AA_{1}}\)，试求\(x\)，\(y\)，\(z\)的值．

\((1)\)判断\(\overrightarrow{MA}\)，\(\overrightarrow{MB}\)，\(\overrightarrow{MC}\)三个向量是否共面；

\((2)\)判断点\(M\)是否在平面\(ABC\)内．

如图，在平行六面体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，设\(\overrightarrow{A{{A}_{1}}}=\overrightarrow{a} \)，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b} \)，\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c} \)，\(M\)，\(N\)，\(P\)分别是\(AA_{1}\)，\(BC\)，\(C_{1}D_{1}\)的中点，试用\(\overrightarrow{a} \)，\(\overrightarrow{b} \)，\(\overrightarrow{c} \)表示以下各向量：

\((1)\overrightarrow{AP}\)；

\((2)\overrightarrow{{{A}_{1}}N}\)；

\((3)\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{N{{C}_{1}}}\)．

如图，设\(O\)为平行四边形\(ABCD\)所在平面外任意一点，\(E\)为\(OC\)的中点，若\(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OD}+x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OA}\)，求\(x\)，\(y\)的值．

已知斜三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)，\(\angle BCA=90{}^\circ \)，\(AC=BC=2\)，\({{A}_{1}}\)在底面\(ABC\)上的恰为\(AC\)的中点\(D\)，又知\(B{{A}_{1}}\bot A{{C}_{1}}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\(A{{C}_{1}}\bot \)平面\({{A}_{1}}BC\)；

\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A-{{A}_{1}}B-C\)的余弦值\(.\)                                                          

\((1)\)证明：\(AC\)\(=\)\(AB\)\({\,\!}_{1}\)；

\((2)\)若\(AC\)\(⊥\)\(AB\)\({\,\!}_{1}\)，\(∠\)\(CBB\)\({\,\!}_{1}=60^{\circ}\)，\(AB\)\(=\)\(BC\)，求二面角\(A\)\(­\)\(A\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)\({\,\!}_{1}­\)\(C\)\({\,\!}_{1}\)的余弦值．

如图，在四棱锥\(S—ABCD\)中，底面梯形\(ABCD\)中，\(BC/\!/AD\)，平面\(SAB⊥\)平面\(ABCD\)，\(\triangle SAB\)是等边三角形，已知\(AC=2AB=4\)，\(BC=2AD=2DC=2 \sqrt{5} \)．

\((\)Ⅰ\()\)求证：平面\(SAB⊥\)平面\(SAC\)；

\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(B—SC—A\)的余弦值．