如图，在长方体\(ABCD-A\)\(1\)\(B\)\(1\)\(C\)\(1\)\(D\)\(1\)中，\(O\)为\(AC\)的中点，设\(E\)是棱\(DD_{1}\)上的点，且\(\overrightarrow{DE}= \dfrac{2}{3}\overrightarrow{DD_{1}}\)，若\(\overrightarrow{EO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}+z\overrightarrow{AA_{1}}\)，试求\(x\)，\(y\)，\(z\)的值．

\((1)\)判断\(\overrightarrow{MA}\)，\(\overrightarrow{MB}\)，\(\overrightarrow{MC}\)三个向量是否共面；

\((2)\)判断点\(M\)是否在平面\(ABC\)内．

如图，在平行六面体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，设\(\overrightarrow{A{{A}_{1}}}=\overrightarrow{a} \)，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b} \)，\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c} \)，\(M\)，\(N\)，\(P\)分别是\(AA_{1}\)，\(BC\)，\(C_{1}D_{1}\)的中点，试用\(\overrightarrow{a} \)，\(\overrightarrow{b} \)，\(\overrightarrow{c} \)表示以下各向量：

\((1)\overrightarrow{AP}\)；

\((2)\overrightarrow{{{A}_{1}}N}\)；

\((3)\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{N{{C}_{1}}}\)．

如图，设\(O\)为平行四边形\(ABCD\)所在平面外任意一点，\(E\)为\(OC\)的中点，若\(\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{OD}+x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OA}\)，求\(x\)，\(y\)的值．

已知\(\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\)为空间的一个基底，且\(\overrightarrow{OP}=2{{e}_{1}}-{{e}_{2}}+3{{e}_{3}}\)，\(\overrightarrow{OA}={{e}_{1}}+2{{e}_{2}}-{{e}_{3}}\)，\(\overrightarrow{OB}=-3{{e}_{1}}+{{e}_{2}}+2{{e}_{3}}\)，\(\overrightarrow{OC}={{e}_{1}}+{{e}_{2}}-{{e}_{3}}\)．

\((1)\)判断\(P\)，\(A\)，\(B\)，\(C\)四点是否共面；

\((2)\)能否以\(\{\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\}\)作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量\(\overrightarrow{OP}\)．

已知斜三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)，\(\angle BCA=90{}^\circ \)，\(AC=BC=2\)，\({{A}_{1}}\)在底面\(ABC\)上的恰为\(AC\)的中点\(D\)，又知\(B{{A}_{1}}\bot A{{C}_{1}}\)．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\(A{{C}_{1}}\bot \)平面\({{A}_{1}}BC\)；

\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A-{{A}_{1}}B-C\)的余弦值\(.\)