1．
\((1)\)已知点\(P(x,y)\)的坐标满足条件\(\begin{cases}x+y\leqslant 4 \\ y\geqslant x \\ x\geqslant 1\end{cases} \)则\(x^{2}+y^{2}\)的最大值为________
\((2)\)已知数列\(\{a_{n}\}\)满足\(a_{1}=1\)，\(a_{n}-a_{n-1}=2^{n-1}(n\geqslant 2)\)，则\(a_{8}=\)________．
\((3)\)已知四面体\(ABCD\)的每个顶点都在球\(O\)的球面上，\(AD⊥\)底面\(ABC\)，\(AB=BC=CA=3\)，\(AD=2\)，则球\(O\)的表面积为________
\((4)\)已知函数\(f(x)=x\ln x+x^{2}\)，且\(x_{0}\)是函数\(f(x)\)的极值点\(.\)给出以下几个命题：
\(①0 < {x}_{0} < \dfrac{1}{e} \)；\(②{x}_{0} > \dfrac{1}{e} \)；\(③f(x_{0})+x_{0} < 0\)；\(④f(x_{0})+x_{0} > 0\)
其中正确的命题是________\(.(\)填出所有正确命题的序号\()\)