知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． \((1)\)已知球的直径为\(2\)，求它的表面积和体积．

\((2)\)已知球的体积为\(36π\)，求它的表面积．

难度：易

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2．

如图\(1\)，在正方形\(ABCD\)中，点\(E\)，\(F\)分别是\(AB\)，\(BC\)的中点，\(BD\)与\(EF\)交于点\(H\)，点\(G\)，\(R\)分别在线段\(DH\)，\(HB\)上，且\( \dfrac{DG}{GH}= \dfrac{BR}{RH} \)，将\(∆AED,∆CFD,∆BEF \)分别沿\(DE\)，\(DF\)，\(EF\)折起，使点\(A\)，\(B\)，\(C\)重合于点\(P\)，如图\(2\)所示。

\((I)\)求证：\(GR⊥ \)平面\(PEF\)；

\((II)\)若正方形\(ABCD\)的边长为\(4\)，求三棱锥\(P-DEF\)的内切球的半径。

难度：较易

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3．
已知半径为\( \sqrt {3}\)的球内有一个内接正方体\((\)即正方体的顶点都在球面上\()\)．
\((1)\)求此球的体积；
\((2)\)求此球的内接正方体的体积；
\((3)\)求此球的表面积与其内接正方体的全面积之比．

难度：中等

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4．

如图\(1\)，在正方形\(ABCD\)中，点\(E\)，\(F\)分别是\(AB\)，\(BC\)的中点，\(BD\)与\(EF\)交于点\(H\)，点\(G\)，\(R\)分别在线段\(DH\)，\(HB\)上，且\(\dfrac{DG}{GH}=\dfrac{BR}{RH}.\)将\(\triangle AED\)，\(\triangle CFD\)，\(\triangle BEF\)分别沿\(DE\)，\(DF\)，\(EF\)折起，使点\(A\)，\(B\)，\(C\)重合于点\(P\)，如图\(2\)所示．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\(GR⊥\)平面\(PEF\)；

\((\)Ⅱ\()\)若正方形\(ABCD\)的边长为\(4\)，求三棱锥\(P-DEF\)的内切球的半径．

难度：中等

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5．
古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现\(.\)我们来重温这个伟大发现．
试求：\((1)\)圆柱的体积与球的体积之比；
\((2)\)圆柱的表面积与球的表面积之比．

难度：中等

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6．

如图，\(∆ABC \)中，\(∠ACB=90^{\circ} \)，\(∠ABC=30^{\circ} \)，\(BC= \sqrt{3} \)，在三角形内挖去一个半圆\((\)圆心\(O\)在边\(BC\)上，半圆与\(AC\)、\(AB\)分别相切于点\(C\)、\(M\)，与\(BC\)交于点\(N)\)，将\(∆ABC \)绕直线\(BC\)旋转一周得到一个旋转体．

\((1)\)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；

\((2)\)求图中阴影部分绕直线\(BC\)旋转一周所得旋转体的体积．

难度：较易

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7．
\((1)\)已知\(a\)与\(b\)为两个不共线的单位向量，\(k\)为实数，若向量\(a+b\)与向量\(ka-b\)垂直，则\(k=\)_____________．

\((2)\)若变量\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases} & 3\leqslant 2x+y\leqslant 9 \\ & 6\leqslant x-y\leqslant 9 \\ \end{cases}\)，则\(z=x+2y\)的最小值是_________．

\((3)\Delta ABC\)中，\(B=120{}^\circ ,AC=7,AB=5\)，则\(\Delta ABC\)的面积为_________．

\((4)\)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上\(.\)若圆锥底面面积是这个球面面积的\(\dfrac{3}{16}\)，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．

难度：难

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8．如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，每个侧面均为边长为\(2\)的正方形，\(D\)为底边\(AB\)的中点，\(E\)为侧棱\(CC_{1}\)的中点．
\((\)Ⅰ\()\)求证：\(CD/\!/\)平面\(A_{1}EB\)；
\((\)Ⅱ\()\)求证：\(AB_{1}⊥\)平面\(A_{1}EB\)；
\((\)Ⅲ\()\)若\(F\)为\(A_{1}B_{1}\)的中点，求过\(F\)，\(D\)，\(B\)，\(C\)点的球的体积．

难度：较易

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9．如图，梯形\(ABCD\)中，\(CE⊥AD\)于\(E\)，\(BF⊥AD\)于\(F\)，且\(AF=BF=BC=1\)，\(DE= \sqrt {2}\)，现将\(\triangle ABF\)，\(\triangle CDE\)分别沿\(BF\)与\(CE\)翻折，使点\(A\)与点\(D\)重合．
\((\)Ⅰ\()\)设面\(ABF\)与面\(CDE\)相交于直线\(l\)，求证：\(l/\!/CE\)；
\((\)Ⅱ\()\)试类比求解三角形的内切圆\((\)与三角形各边都相切\()\)半径的方法，求出四棱锥\(A-BCEF\)的内切球\((\)与四棱锥各个面都相切\()\)的半径．

难度：较易

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10．如图甲正三角形\(ABC\)的边长为\(4\)，\(CD\)是\(AB\)边上的高，\(E\)、\(F\)分别是\(AC\)和\(BC\)边的中点，先将\(\triangle ABC\)沿\(CD\)折叠成直二面角\(A-DC-B(\)如图乙\()\)，在乙图中：
\((\)Ⅰ\()\)求二面角\(E-DF-C\)的余弦值；
\((\)Ⅱ\()\)在线段\(BC\)上找一点\(P\)，使\(AP⊥DE\)，并求\(BP\)．
\((\)Ⅲ\()\)求三棱锥\(D-ABC\)外接球的表面积\(.(\)只需用数字回答，可不写过程\()\)

难度：较易

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