如图\(①\)，\(\triangle BCD\)内接于直角梯形\({A}_{1}{A}_{2}{A}_{3}D \)，\(A_{1}D/\!/A_{2}A_{3}\)，\(A_{1}A_{2}⊥A_{2}A_{3}\)，\(A_{1}D=10\)，\(A_{1}A_{2}=8\)，沿\(\triangle BCD\)三边将\(\triangle A_{1}BD\)、\(\triangle A_{2}BC\)、\(\triangle A_{3}CD\)翻折上去，恰好形成一个三棱锥\(ABCD\)，如图\(②\)．

\((1)\)求证：\(AB⊥CD\)；

\((2)\)求直线\(BD\)和平面\(ACD\)所成的角的正切值；

\((3)\)求四面体\(ABCD\)的体积。

圆台的上、下底面半径分别为\(5{cm}\)，\(10{cm}\)，母线长\(AB=20{cm}\)，从圆台母线\(AB\)的中点\(M\)拉一条绳子绕圆台侧面转到\(A\)点\(.\)求：

\((1)\)绳子的最短长度； \((2)\)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．

如图所示，在三棱柱\(ABC-A\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)\({\,\!}_{1}\)中，底面\(\triangle \)\(ABC\)为正三角形，且侧棱垂直于底面\(.AB=\)\(2\)，\(AA\)\({\,\!}_{1}\)\(=\)\(2\)，从顶点\(B\)沿棱柱侧面\((\)经过棱\(AA\)\({\,\!}_{1})\)到达顶点\(C\)\({\,\!}_{1}\)，与\(AA\)\({\,\!}_{1}\)的交点记为\(M.\)求：

\((1)\)三棱柱\(ABC-A\)\({\,\!}_{1}\)\(B\)\({\,\!}_{1}\)\(C\)\({\,\!}_{1}\)侧面展开图的对角线长\(;\)

\((2)\)从\(B\) 经过\(M\) 到\(C\)\({\,\!}_{1}\)的最短路线长及此时\( \dfrac{{A}_{1}M}{AM} \)的值．

\((1)\)在正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，与对角线\(BD_{1}\)异面的棱的条数是        

\((2)\)有两个球，第一个球\(O\)内切于正方体，第二个球\(O′\)过这个正方体的各个顶点\(.\)则球\(O\) 与球\(O′\)的半径之比是            

\((3)\)如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中：

\(①BM/\!/\)平面\(DE\)            \(②CN/\!/AF\)

\(③ED\)与\(AF\)成的角为\(60^{\circ}\)     \(④\)平面\(BMD/\!/\)平面\(AFN\)      

   其中正确的序号是               

\((4)\)若二面角\(α-l-β\)是直二面角，\(A∈α\)，\(B∈β\)，\(AA_{1}⊥l\)于\(A_{1}\)，\(BB_{1}⊥l\)于\(B_{1}\)，且\(AA_{1}=A_{1}B_{1}=1\)，\(B_{1}B=2\)，\(M\)是直线\(l\)上的一个动点，则\(AM+BM\)的最小值等于________．