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          共50条信息

            • 1．
              如图，在直角梯形\(ABCD\)中，\(AD/\!/BC\)，\(AD=AB\)，\(∠A=90^{\circ}\)，\(BD⊥DC\)，将\(\triangle ABD\)沿\(BD\)折起到\(\triangle EBD\)的位置，使平面\(EBD⊥\)平面\(BDC\)．
              \((1)\)求证：平面\(EBD⊥\)平面\(EDC\)；
              \((2)\)求\(ED\)与\(BC\)所成的角．
              难度：较易
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            • 2．
              如图，在正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(E\)、\(F\)分别是\(BB_{1}\)、\(CD\)的中点，
              \((1)\)证明：\(AD⊥D_{1}F\)；
              \((2)\)求异面直线\(AE\)与\(D_{1}F\)所成的角；
              \((3)\)证明：平面\(AED⊥\)平面\(A_{1}FD_{1}\)．
              难度：较易
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            • 3．
              如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(AA_{1}⊥\)面\(ABC\)，\(AB=BC=2BB_{1}\)，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(D\)为\(BC\)的中点．
              \((1)\)求证：\(A_{1}B/\!/\)平面\(ADC_{1}\)；
              \((2)\)求二面角\(C-AD-C_{1}\)的余弦值；
              \((3)\)若\(E\)为\(A_{1}B_{1}\)的中点，求\(AE\)与\(DC_{1}\)所成的角．
              难度：较易
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            • 4．
              如图，在四棱锥\(O-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是边长为\(1\)的正方形，\(OA⊥\)底面\(ABCD\)，\(OA=2\)，\(M\)为\(OA\)的中点，\(N\)为\(BC\)的中点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：
              \((1)\)证明：直线\(MN/\!/\)平面\(OCD\)；
              \((2)\)求异面直线\(AC\)与\(MD\)所成角的大小；
              \((3)\)求直线\(AC\)与平面\(OCD\)所成角的余弦值．
              难度：较易
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            • 5．
              如图，在直四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，底面\(ABCD\)是边长为\(2\)的正方形，\(E\)，\(F\)分别为线段\(DD_{1}\)，\(BD\)的中点．
              \((1)\)求证：\(EF/\!/\)平面\(ABC_{1}D_{1}\)；
              \((2)\)四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的外接球的表面积为\(16π\)，求异面直线\(EF\)与\(BC\)所成的角的大小．
              难度：较易
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            • 6．
              如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，侧面\(PAD⊥\)底面\(ABCD\)，侧棱\(PA=PD= \sqrt {2}\)，底面\(ABCD\)为直角梯形，其中\(BC/\!/AD\)，\(AB⊥AD\)，\(AD=2AB=2BC=2\)，\(O\)为\(AD\)中点．
              \((1)\)求证：\(PO⊥\)平面\(ABCD\)；
              \((2)\)求异面直线\(PB\)与\(CD\)所成角的余弦值；
              \((3)\)线段\(AD\)上是否存在点\(Q\)，使得它到平面\(PCD\)的距离为\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)？若存在，求出\( \dfrac {AQ}{QD}\)的值；若不存在，请说明理由．
              难度：较易
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            • 7．
              如图\(1\)，四边形\(ABCD\)为正方形，延长\(DC\)至\(E\)，使得\(CE=2DC\)，将四边形\(ABCD\)沿\(BC\)折起到\(A_{1}BCD_{1}\)的位置，使平面\(A_{1}BCD_{1}⊥\)平面\(BCE\)，如图\(2\)．

              \((I)\)求证：\(CE⊥\)平面\(A_{1}BCD_{1}\)；
              \((II)\)求异面直线\(BD_{1}\)与\(A_{1}E\)所成角的大小；
              \((III)\)求平面\(BCE\)与平面\(A_{1}ED_{1}\)所成锐二面角的余弦值．
              难度：较易
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            • 8．
              如图，在棱长为\(1\)的正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中：
              \((1)\)求异面直线\(BC_{1}\)与\(AA_{1}\)所成的角的大小；
              \((2)\)求三棱锥\(B_{1}-A_{1}C_{1}B\)的体积；
              \((3)\)求证：\(B_{1}D⊥\)平面\(A_{1}C_{1}\)B.
              难度：较易
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            • 9．
              如图所示，正四棱锥\(P-ABCD\)中，\(O\)为底面正方形的中心，侧棱\(PA\)与底面\(ABCD\)所成的角的正切值为\( \dfrac { \sqrt {6}}{2}\)．
              \((1)\)求侧面\(PAD\)与底面\(ABCD\)所成的二面角的大小；
              \((2)\)若\(E\)是\(PB\)的中点，求异面直线\(PD\)与\(AE\)所成角的正切值；
              \((3)\)问在棱\(AD\)上是否存在一点\(F\)，使\(EF⊥\)侧面\(PBC\)，若存在，试确定点\(F\)的位置；若不存在，说明理由．
              难度：较易
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            • 10．
              如图，已知三棱锥\(O-ABC\)的侧棱\(OA\)，\(OB\)，\(OC\)两两垂直，且\(OA=1\)，\(OB=OC=2\)，\(E\)是\(OC\)的中点．
              \((1)\)求异面直线\(BE\)与\(AC\)所成角的余弦值；
              \((2)\)求直线\(BE\)和平面\(ABC\)的所成角的正弦值．
              难度：中等
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