知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•葫芦岛期末）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD，M为PD的中点，过A，B，M的平面记为α．
（1）平面α与四棱锥P-ABCD的面相交，交线围成一个梯形，在图中画出这个梯形；（不必说明画法及理由）
（2）求证：AB⊥平面PBC；
（3）若CD=1，求三棱锥M-ACD的体积．

难度：中等

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2．（2015秋•柳州校级期末）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E、F分别为PC、BD的中点，平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=
2
2
AD．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若AD=2，求三棱锥F-BEC的体积．

难度：中等

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3．如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=
6
．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求O点到平面ACD的距离．

难度：中等

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4．（2015春•广州校级期末）如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，已知AA₁=AC=2，AB=
2
，O、O₁分别是上下底面ABCD和A₁B₁C₁D₁的对角线的交点，E是BC的中点．
（1）求证：C₁E∥平面ABO₁；
（2）求证：BD⊥平面ACO₁；
（3）求点A到平面BCO₁的距离．

难度：中等

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5．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，
且AE⊥平面CDE，AE=1．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求BE与平面ABCD所成角的余弦值．

难度：中等

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6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD，过AB的平面分别交棱PC，PD于点E，F．
（Ⅰ）求证：EF∥AB；
（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAC．

难度：中等

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：PB⊥平面DEF．

难度：中等

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8．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．过AB的平面与侧棱CC₁，DD₁分别交于点E，F．
（Ⅰ）求证：EF∥AB；
（Ⅱ）求证：A₁C₁⊥平面DBB₁D₁．

难度：中等

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9．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=
3
，AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点．
（1）求证：PH⊥平面ABCD；
（2）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．

难度：中等

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10．如图，在多面体EF-ABCD中，四边形ABCD，ABEF均为直角梯形，∠ABE=∠ABC=
π
2
，四边形DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：DF⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若BC=CD=CE=
1
2
AB，求直线BF与平面ADF所成角的正弦值．

难度：中等

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