知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A=
2 b
1 3
属于特征值λ的一个特征向量为α=
1
-1
．
（1）求实数b，λ的值；
（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C′：x²+2y²=2，求曲线C的方程．

难度：较难

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2．在直角标系xOy中，点（2，-2）在矩阵M=（
0 1
a 0
）对应变换作用下得到点（-2，4），曲线C：x²+y²=1在矩阵M对应变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．

难度：较难

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3．定义
a11， a12
a21， a22
x
y
=
a11x+ a12y
a21x+ a22y
，若
2， 3
1， 1
x
y
=
3
-1
，则x= ，y= ．

难度：中等

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4．（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=
a 2
1 b
有一个属于特征值1的特征向量
a
=
2
-1
，
①求矩阵A；
②已知矩阵B=
1 -1
0 1
，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O′M′N′的面积．

难度：较难

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5．选修4-2：矩阵与变换
若曲线C：x²+4xy+2y²=1在矩阵M=
1 a
b 1
对应的线性变换作用下变成曲线C′：x²-2y²=1
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求M的逆矩阵M^-1．

难度：较难

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6．如图，矩形OABC和平行四边形OA₁B₁C₁的部分顶点坐标为：A（-1，0），B（-1，2），A₁（
1
2
，1），C₁（2，0）．
（Ⅰ）求将矩形OABC变为平行四边形OA₁B₁C₁的线性变换对应的矩阵M；
（Ⅱ）矩阵M是否存在特征值？若存在，求出矩阵M的所有特征值及其对应的一个特征向量；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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7．（选修4-2：矩阵与变换）设 M=
1 0
0 2
，N=
1
2
0
0 1
，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．

难度：中等

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8． 4-2 矩阵与变换
求将曲线y²=x绕原点逆时针旋转90°后所得的曲线方程．

难度：中等

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